请教陆老师一个关于射影几何的问题

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/06 08:29am 发表的内容：
请教陆老师：
这两种分法如何在几何上实现？

不太清楚你说的“在几何上实现”是什么意思。
如果你指的是用通俗的、直观的、不太严格的话来说，那就是：
将欧氏直线切成两段，并且规定，切开处的那一点，只属于两段中的某一段，但不属于另一段。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/06 11:01am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/06 10:46am 发表的内容：
不太清楚你说的“在几何上实现”是什么意思。
如果你指的是用通俗的、直观的、不太严格的话来说，那就是：
将欧氏直线切成两段，并且规定，切开处的那一点，只属于两段中的某一段，但不属于另一段。

我的意思是说：因为实数是连续的，所以实数轴上是没有缝隙的。没有缝隙的数轴怎么可能被切成两段呢？
如想将欧氏直线切成两段，只能是先去掉一个点，首先要使实数轴留出缝隙（通俗地讲就是要有下刀之处），这件事情才能办到。
陆老师，难道事情不是这样的吗？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2012/05/05 07:31am 发表的内容：
我认为，这样建立起来的射影几何不仅仅是叙述起来比较罗嗦、比较麻烦的问题，很可能会丢失许多的东西，它和我们现行的射影几何有着本质的不同：
有两个不同的“无穷远点”的射影几何只考虑了一致性，丢失了完全　...

你（天茂）的目的，究竟是什么 ？？？寻找【分类】方法 ？？？
射影几何 ===================> 牟比乌斯带，交叉帽，不可定向的
欧氏几何 ===================> 可定向的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/06 02:08pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/05/06 10:57am 发表的内容：
我的意思是说：因为实数是连续的，所以实数轴上是没有缝隙的。没有缝隙的数轴怎么可能被切成两段呢？
如想将欧氏直线切成两段，只能是先去掉一个点，首先要使实数轴留出缝隙（通俗地讲就是要有下刀之处），这件　...

这件事，如果要用严格的数学语言来表达，那就是：
(-∞,+∞)＝(-∞,a]∪(a,+∞），(-∞,+∞)＝(-∞,a)∪[a,+∞），
其中 a 是欧氏直线上的一个实数。这种表达在数学上是完全可以的，没有任何问题。
至于说什么“切开”“缝隙”，那不过是一些通俗的、不严格的、非数学的说法。
可能有人觉得这种说法可以接受，也可能有人觉得这种说法难以接受，见仁见智。
反正这些都不是数学的问题，与这件事能不能在数学上实现没有关系。我也没有
兴趣在这些问题上纠缠不清。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/07 07:03am 第 4 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/04/02 01:33pm 发表的内容：在射影几何中，不考虑与射影直线上的点对应的数的大小次序问题，所以，虽然射影直线上的点不能排序，但并不影响射影几何的研究。
   如果有人坚持一定要对射影直线上的点排序（这是额外提出的无理要求，与射影几何无关），那么，我建议他可以这样做，就是：去掉射影直线上的一个点。
   比如说，可以去掉射影直线上与 ∞ 对应的无穷远点，这样射影直线上剩下的点就可以与实数集合 R 对应，就可以排序了。
   又比如说，可以去掉射影直线上与 0 对应的点，保留与 ∞ 对应的无穷远点，规定：凡是正数都小于 ∞ ，凡是负数都大于 ∞ ，当然，这样一来，任何负数也都大于正数了，虽然与习惯不太一样，但是数学中只要不自相矛盾，这样的定义也是允许的。这样，射影直线上除 0 点以外，剩下的点也可以排序了。
   再说一遍：射影直线上的点本来是不能排序的，硬要排序，是额外的无理要求，要满足这样的额外要求，想对射影直线一点不破坏，那是不可能的。从射影直线上去掉一个点，本来就是为了满足无理要求的另类做法，并不属于射影几何的内容，与射影几何没有什么关系。

据我掌握的资料，去掉射影直线上的无穷远点并不是什么额外的无理要求，而是射影几何的公理化（本质上是一致性）所必需的。
我手头有两本梅向明等人编著的《高等几何》（高等教育出版社1988年版），书中专门有一节“射影几何的公理体系”，介绍了三组公理，前两组公理没有涉及到“无穷远元素”，第三组公理叫“连续公理（戴德金公理）”，这个公理的首要条件就是先把射影直线上的“无穷远点”挖去。
请问陆老师：
把射影直线上的“无穷远点”挖去后的直线还能叫射影直线吗？
这样搞出来的公理体系还能叫做“射影几何的公理体系”吗？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/07 07:08am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/04 10:00pm 发表的内容：
要建立一套规定存在两个不同的“无穷远点”的射影几何，其实也是可以的，
只不过在这种射影几何中，各种定义、定理，叙述起来比较罗嗦、比较麻烦而已。

假设我们可以建立一套规定在射影直线上有两个不同的“无穷远点”的射影几何。
请问陆老师：
这样建立起来的射影直线和欧氏几何中的线段有何区别？

luyuanhong

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/07 07:07am 发表的内容：
假设我们可以建立一套规定在射影直线上有两个不同的“无穷远点”的射影几何。
请问陆老师：
这样建立起来的射影直线和欧氏几何中的线段有何区别？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/07 07:58pm 第 1 次编辑]

[B]请问陆老师：
这样建立的射影几何中可有莫比乌斯带的位置？
这样建立的射影几何中可有对偶命题和对偶原则？[/B]

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/07 09:44pm 第 3 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/05/07 07:52pm 发表的内容：
请问陆老师：
这样建立的射影几何中可有莫比乌斯带的位置？
这样建立的射影几何中可有对偶命题和对偶原则？

在新的平面射影几何中，如果按照第一种方法处理，不允许直线延伸到无穷远点之外，
那么，射影平面拓扑等价于一个圆面；如果按照第二种方法处理，允许直线延伸到无
穷远点之外，那么，射影平面拓扑等价于一个球面。
不管是圆面还是球面，都是双侧的可定向的曲面，所以，在新的射影几何中，射影平面
与那些单侧的不可定向的曲面，如莫比乌斯带、交叉帽、克莱因瓶等等，都没有关系。
这应该说是新射影几何的一个优点，因为莫比乌斯带、交叉帽、克莱因瓶等，都比较古怪，
不容易被人们接受，相比之下，圆面、球面就简单得多，也优美得多了。
-------------------------------------------------------------------------
在新的射影几何中，像现有的射影几何中那样的对偶命题、对偶原则，如果不做任何
补充修改，那是不成立的。
例如，在现有的射影几何中，有下列两条互为对偶的命题：

    “过射影平面中任何两点，可以作一条而且只能作一条直线。”
    “射影平面中任何两条直线，都有一个而且只有一个交点。”

在新的射影几何中，像上面那样的第二条命题，就不成立了。
如果按照第一种方法处理，射影平面拓扑等价于一个圆面，这时第二条命题要修改为：

    “射影平面中任何两条非无穷远直线，都有一个而且只有一个交点。
      但是，非无穷远直线与无穷远直线，有两个而且只有两个交点。”

如果按照第二种方法处理，射影平面拓扑等价于一个球面，这时第二条命题要修改为：

    “射影平面中任何两条直线，都有两个而且只有两个交点。”

这样补充修改后的命题，对偶性当然就要大大地打折扣了。所以，从对偶性方面来看，
新射影几何就远远不如现有的射影几何那样简单、那样优美了。