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[分享，讨论]数学的启示/数学是什么
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"现在我们面临另一个挑战：证明任给自然数 a,b, a < b, a = b, a > b 这三种情况有且只有一种成立。"
由于公理2 包含了后继的唯一性（确定的自然数a都有一个确定的后继a';）; 公理3成为前序的唯一性，（后继指定，则前序被指定），这个命题可以如下证明：
引理：任何自然数，要么是0，要么是0经过有限次的“后继映射”的像。 （我们如下定义“后继映射”：对自然数集合中的元n,取n的后继n';;作为映射的像，如此构造的映射称为“后继映射”； (这个映射是集合N到自己的单射，但不是满射)
对引理证明：
1） 对于自然数0， 引理成立；
2） 设对于自然数n 引理成立，即0经过有限次后继映射后可成为n，那么再做一次后继映射则得到n';, 即n';也是0经过有限次后继映射后的像. 引理对n';也成立。
3） 根据公理5， 引理成立。
（引理是找根，找共同的根0）
现在证明命题：任给自然数 a,b, a < b, a = b, a > b 这三种情况有且只有一种成立。
对于任意给定的自然数a， 考察任意自然数b是否与a有a < b, a = b, a > b 三者有且只有一种情况成立。
1）当b为0时，由引理，a或是0，或是0经过有限次后继映射的像；前一种情况a=b; 后一种情况a>b 命题给的三种情况有且仅有一种成立，命题正确；
2）假设b=n时命题成立，那么b=n';时分三种情况讨论如下：
对于an';。
对于a=n; 由公理2(后继的唯一性)；n';是a的后继，所以有an';
对于a>n; 由定义，a或是n的后继，或是n经多于1次的有限次后继映射后得到的像；
前者，由公理2（后继的唯一性）；得到a=n'; 且不能有an;
后者，由公理2（后继的唯一性）；n的后继是n';，n';再经过若干次后继映射可以得
到a，即a>n'; 由公理3，a的前序唯一性，不会有a=n';或a b 三者有且只有一种情况成立。
由a的任意性，
“任给自然数 a,b, a < b, a = b, a > b 这三种情况有且只有一种成立。"
命题成立。
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狗仔卡
发表于 2010-5-13 22:16
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