连乘积公式计算哥猜数误差分析

愚工688

我刚刚把拉曼钮杨系数C(N)的计算软件的输出改了一下，显示了C(N)=C2B*C2A的数值；
其中C2A=PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
      C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]——含有的素因子。

很显然，各个偶数的C2A都到了极限值。（中精度计算），以后再改成高精度计算（16位数的）
下面是各偶数的拉曼钮杨系数C(N)：

C2A( 100000 )= .6601667     C2B( 100000 )= 1.333333     C(N)= .8802223
C2A( 100002 )= .6601667     C2B( 100002 )= 2.401009     C(N)= 1.585066
C2A( 100004 )= .6601667     C2B( 100004 )= 1.048585     C(N)= .6922406
C2A( 100006 )= .6601667     C2B( 100006 )= 1.035125     C(N)= .683355
C2A( 100008 )= .6601667     C2B( 100008 )= 2.004339     C(N)= 1.323197
C2A( 100010 )= .6601667     C2B( 100010 )= 1.362128     C(N)= .8992318
C2A( 100012 )= .6601667     C2B( 100012 )= 1.1116       C(N)= .7338415
C2A( 100014 )= .6601667     C2B( 100014 )= 2.035668     C(N)= 1.34388
C2A( 100016 )= .6601667     C2B( 100016 )= 1.298824     C(N)= .8574401
C2A( 100018 )= .6601667     C2B( 100018 )= 1.025272     C(N)= .6768507
C2A( 100020 )= .6601667     C2B( 100020 )= 2.668268     C(N)= 1.761502

小一些的偶数的C2A则没有达到极限值：
C2A( 206 )= .6606579        C2B( 206 )= 1.009901        C(N)= .6671991
C2A( 208 )= .6606579        C2B( 208 )= 1.090909        C(N)= .7207178
C2A( 210 )= .6606579        C2B( 210 )= 3.2             C(N)= 2.114106
C2A( 212 )= .660643         C2B( 212 )= 1.019608        C(N)= .6735968
C2A( 214 )= .660643         C2B( 214 )= 1.009524        C(N)= .6669348
C2A( 216 )= .660643         C2B( 216 )= 2               C(N)= 1.321286

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-3 10:34
因为一些权威人士说过：素数发生率趋于0，
而素数定理有      X/ln(X)=1/lnX;
yangchuanju 认为：等号左 ...

老师怎么糊涂了？
第一行，没有错，当自然数X趋近于无穷大时，“素数发生率趋于0”，即素数几率趋于无穷小。
第二行，关系式不成立，左为素数个数，右为素数发生率（几率）；
当X趋近于无穷大时，素数个数趋近于无穷大，而素数发生率（几率）趋近于无穷小，亦可说成趋近于0，有什么矛盾之处？

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-3 10:34
因为一些权威人士说过：素数发生率趋于0，
而素数定理有      X/ln(X)=1/lnX;
yangchuanju 认为：等号左 ...

经查对，我帖子原文是：
当X趋近于无穷大时，素数个数X/ln(X)趋近于无穷大，素数几率1/ln(X)趋近于0，不矛盾。

老师怎么把上面的文字变成了：而素数定理有      X/ln(X)=1/lnX？

愚工688

因为一些权威人士说过：素数发生率趋于0，
而素数定理有      π(X)=X/lnX;

yangchuanju 认为：
素数个数X/ln(X)趋近于无穷大，素数几率1/ln(X)趋近于0，不矛盾。
连比较的两个对象也比较错了！

而在140楼层中你说“X趋近于无穷大时，[ln(X)-ln(2)]/[ln(X)+ln(2)]趋近于1”。
那么与素数发生率趋于0就有矛盾了。所以自己的观点不能前后摇摆，变化不定。

实际素数发生率      π(X)/X=1/lnX

的左面不正是两个无穷小量的比值吗？
  π(X)/X=（ 1/x )÷[1/π(X)]
难道可以不依据无穷小量的比较 理论，不依据无穷小量阶的概念，随心所欲的下结论？

同样的对   vfbpgyfk：虽然阶不同，但运算法则或是极限法则确是相同的。任何常数被无限变量所除，极限值都是等于0的。
    你认为X→∞时，1/X→0，就想当然的有： 1/lnX→0，
但是素数定理的等号左面是两个无穷小量的比值，难道不应该遵守无穷小量的比较 理论来判断吗？

唯权威论者认为，权威的话高于一切，高于无穷小量的比较准则，高于无穷小量阶的概念等等极限基础理论，高于实验数据。
那么发生指鹿为马的现象就不足为奇了。

yangchuanju

前后等分区间素数个数和几率对照表                                               
偶数        素数数N/ln(N)        前半大区素数数        后半大区素数数        大区间素数%        前半素数%        后半素数%
100        21.7147241        12.78111093        8.933613163        21.71472         25.56222         17.86723
900        132.3063467        73.65882523        58.64752148        14.70071         16.36863         13.03278
1000        144.7648273        80.45559625        64.30923105        14.47648         16.09112         12.86185
9000        988.4700617        534.9607123        453.5093494        10.98300         11.88802         10.07799
10000        1085.736205        587.0478557        498.688349        10.85736         11.74096         9.97377
90000        7889.501432        4199.948235        3689.553196        8.76611         9.33322         8.19901
100000        8685.889638        4621.166782        4064.722856        8.68589         9.24233         8.12945
900000        65644.79581        34570.16986        31074.62595        7.29387         7.68226         6.90547
1000000        72382.41365        38102.89242        34279.52124        7.23824         7.62058         6.85590
…………………………………………………………………………………………
1E+305        1.4239E+302        7.1266E+301        7.1125E+301        0.14239         0.14253         0.14225
9E+305        1.2775E+303        6.3939E+302        6.3813E+302        0.14195         0.14209         0.14181
1E+306        1.4193E+303        7.1033E+302        7.0893E+302        0.14193         0.14207         0.14179
9E+306        1.2734E+304        6.3731E+303        6.3606E+303        0.14149         0.14162         0.14135
1E+307        1.4146E+304        7.0801E+303        7.0663E+303        0.14146         0.14160         0.14133
9E+307        1.2692E+305        6.3524E+304        6.3399E+304        0.14103         0.14116         0.14089
1E+308        1.41E+305        7.0571E+304        7.0433E+304        0.14100         0.14114         0.14087
从对照表可以看出，将整个数域分成两个等分区后，两分区的素数个数为同一数量级，后分区素数个数和几率稍小一些！
随着自然数的增大，素数个数逐渐增大并趋近于无穷大；而素数发生率（几率）逐渐减少并趋近于无穷小（即0）。

yangchuanju

前后等分区间素数个数和几率对照表2                               
偶数        素数数N/ln(N)        小区间素数数        大区间素数%        小区间素数%
100        21.7147241        ——            21.71472         ——
900        132.3063467                ——    14.70071        
1000        144.7648273        12.45848059        14.47648         12.45848
9000        988.4700617                ——    10.98300        
10000        1085.736205        97.2661431        10.85736         9.72661
90000        7889.501432                ——    8.76611        
100000        8685.889638        796.3882063        8.68589         7.96388
900000        65644.79581                ——    7.29387        
1000000        72382.41365        6737.617844        7.23824         6.73762
9000000        562052.6365                ——    6.24503        
10000000        620420.6884        58368.05196        6.20421         5.83681
90000000        4913918.997                ——    5.45991        
100000000        5428681.024        514762.0271        5.42868         5.14762
900000000        43651379.03                ——    4.85015        
1000000000        48254942.43        4603563.403        4.82549         4.60356
9000000000        392661755.4                ——    4.36291        
10000000000        434294481.9        41632726.53        4.34294         4.16327
…………………………………………………………
9E+304        1.2817E+302                ————    0.14241        
1E+305        1.4239E+302        1.422E+301        0.14239         0.14220
9E+305        1.2775E+303                ————    0.14195        
1E+306        1.4193E+303        1.4174E+302        0.14193         0.14174
9E+306        1.2734E+304                ————    0.14149        
1E+307        1.4146E+304        1.4127E+303        0.14146         0.14127
9E+307        1.2692E+305                ————    0.14103        
1E+308        1.41E+305        1.4082E+304        0.14100         0.14082
另在10^n之前，单独挑出10%的区间，与前一级区间相比，素数个数略少于前一级等区间，在10^3--10^308间由67%变到99.5%；
素数发生率（几率）逐级减少，在10^3--10^308间由12.5%变到0.14%；随着自然数增大到无穷大，素数发生率必然趋近于无穷小即0。

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-3 11:13
因为一些权威人士说过：素数发生率趋于0，
而素数定理有      π(X)=X/lnX;

素数无穷多的证明
素数个数采用素数定理公式X/ln(X)表示，
当自然数X趋近于无穷大时，素数公式X/ln(X)的分子分母都是无穷大的，不便直接求其值；
采用洛必达法则分别对分子分母求一阶导数，分子导数是1，分母导数是1/X，分子导数/分母导数等于X；
当X趋近于无穷大时，X'/ln(X)'=X趋近于无穷大；
故X以内素数个数X/ln(X)趋近于无穷大。
本证明仅用一次洛必达法则即可，不涉及无穷小和无穷小的阶。

素数发生率（几率）的证明
素数几率等于素数个数除以自然数个数，等于X/ln(X)除以X等于1/ln(X)，
当自然数X趋近于无穷大时，几率式是一个有限数除以无穷大数，不用洛必达法则，更不用无穷小的阶进行处理，
而是1除以正无穷大的商趋近于无穷小，直接求算的。

无穷小乘以无穷大的积
当自然数X趋近于无穷大时，素数几率1/ln(X)趋近于0，而素数个数等于1/ln(X)*X=X/ln(X)，又是无穷小*无穷大型，
可转换成无穷大除无穷大型，与前法相同，采用洛必达法则处理一次，即得：
当自然数X趋近于无穷大时，素数几率1/ln(X)与自然数X的乘积等于1/ln(X)*X趋近于无穷大，

注意：在这里对于素数几率和自然数的乘积：无穷小*无穷大=无穷大，是特例；
对于其它问题无穷小*无穷大也可能等于无穷小，或等于其它有限数值。

yangchuanju

当p趋近于无穷大时p#的Π[(p-1)/(p-2)]的极值证明
极值关系式是一个连乘积表达式，不能直接用洛必达法则和无穷小的阶进行处理。
Π[(p-1)/(p-2)]=Π(p-1)/Π(p-2),
当p趋近于无穷大时，连乘积分子分母都是无穷多项型函数式，
对无穷多项连乘积也无法求其导数，因此洛必达法则不能直接处理这种函数式。

如用无穷小或无穷大的阶倒可处理它们的对应项，对(p-1)/(p-2)的分子分母分别求导，分子、分母的导数都是1，
当p趋近于无穷大时(p-1)'/(p-2)'=1，(p-1)和（p-2)是等阶无穷大，(p-1)/(p-2)趋近于1但总是要大于1的。

(1+a)*(1+b)*(1+c)*…*(1+s)*(1+t)=1+(ab+ac+…+st)+(abc+…)+…+abc…t，
和式所有项除第一项1以外都是无穷多项，且a，b，c……t都是正数，无穷多项的和会怎么样？
当素数个数从s增大到t时，每一个括号都要增加一项或许多项，同时最后还要增加一项t次乘积，
总连乘积肯定是越来越大的了。

无穷多个大于1的正小数相乘，其连乘积是要趋近于无穷大的。

yangchuanju

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独木星空谁点评1
实际上哥德巴赫猜想就像求自然数平方的倒数和那样，利用根与系数之间的关系，把有限问题推到无限上去，就可以解决问题。连乘积一样，当我们给它一个相随的量，它们之间可以相互制约，达到平衡态，就是一个系数了。    发表于 2022-7-3 17:49
独木星空谁点评2
按着素数定理来说，自然数趋近于无穷大时素数发生率趋近于0没有什么。主要是这样的一个概念，因为不是开方值与N的关系（变化率）趋近于0的速度要快，而ln(n)与N的变化要慢的多，一个以直线变化，一个以自然对数变化，    发表于 2022-7-3 17:56
独木星空谁点评3
比如自然数从10变化到10的10次方，扩大了10的9次方倍，而ln（10^10）与ln（10）仅仅是10倍，所以造成假象，素数的出现概率永远不是“0”，它的变化率太慢了，比起自然数的增长率来说。事实上，素数的增长会很快跟上。    发表于 2022-7-3 18:01
独木星空谁点评4
自然数的增长的，比如在10的1千万次方后，如果自然数扩大10倍（从数量上说），则素数个数照样在原先的基础上扩大10倍的量（即便跟不上，能拉下的也微乎其微）。更不用说1亿次，10亿次以后了。    发表于 2022-7-3 18:04

请愚公老师认真读一读白新岭的这些点评，看一看您能否理解当自然数趋近于无穷大时，素数发生率趋近于0的问题！

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-7-3 10:18
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独木星空谁点评1
实际上哥德巴赫猜想就像求自然数平方的倒数和那样，利用根与系数之间的关系，把有 ...

谈论无穷小量的比值的极限问题，却抛开无穷小量阶的概念，无穷小量的比较的极限基础法则，抛开现有教科书上面的极限理论，不谈实际的检验结果。
用自己想当然的观察，推理，能够正确吗？？？


百度资料：无穷小与极限 （https://wenku.baidu.com/view/f4e265d476eeaeaad1f33023.html）

8、无穷小量的比较   

  设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.      

若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
（其逆定理则是：若α(x)与β(x)是同阶无穷小，则lim α(x)／β(x)= c ≠0 ；）
  
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);

特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β
---------------------------------------------

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。


(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
1）判断π(1-1/p）的极限：
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p]=π(p-1)／π(p)=π（1/p )÷π[（1/（p-1 )]
x→∞时，p→∞,
  π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,则π[1/(p-1)]→0，π[1/p]→0，

下面即为这两个无穷小量的趋0速度比较实验（阶的 判断）:
那么这两个无穷小量是否是同阶无穷小量呢？
以实验数据作依据，即可得到结论：
p( 2 )= 3  , π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5  , π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7  , π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11  , π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0

显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。