推翻数学大厦的蚂蚁问题

mathmatical

jzkyllcjl 发表于 2023-12-21 00:40
唯物辩证法与数学基础
曹俊云
河南理工大学数信学院，河南焦作，454000

曹先生，还是没分开，抽象数学与具体工程数学！

门外汉

老春头认为徐氏可达，老E头认为徐氏不可达，老曹头认为徐氏不可达。
老春头反对老曹头那很正常
但老E头反对老曹头怎么越看越不正常呢？
老E头应该支持老曹头才对吧？

elim

门外汉 发表于 2023-12-20 21:43
老春头认为徐氏可达，老E头认为徐氏不可达，老曹头认为徐氏不可达。
老春头反对老曹头那很正常
但老E头反 ...

我称【\((\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m=a)\implies\) (当 \(n\to\infty\)时 \(a_n = a\))】这个一般命题
为徐氏可达. 徐氏可达的这个陈述的后一部分意义不明晰，所以不论它对
不对，是不是出自徐利治教授，都不会出现在廿一世纪的分析书中。我本
无意谈论徐氏可达，结果反而给它起了这么个名号。故事其实很简单：
对于正项序列 \(\{a_n\},\,s_m=\displaystyle\sum_{n=1}^m a_n,\;s=\lim_{n\to\infty}s_n\)
青山，jzkyllcjl 说因为 \(\{s_n\}\) 达不到 \(s\), 所以 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 达不到 \(s\).
春风晚霞认为需要徐氏可达才有 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 达到 \(s\).
而标准分析明示尽管\(\{s_n\}\)达不到\(s\), \(s\) 就是级数和：\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = s\)．

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2023-12-20 15:09
既然极限过程存在“可达”的情况，那自然也应当存在“不可达”的情况，这本来是很正常的。恐怕春风晚霞先生 ...

痛打落水狗网友：
       感谢您关注并参与“徐氏可达”问题的讨论。
        徐利治先生认为：“变量与函数同时以实无穷方式达到极限的问题，是一个不可忽视的问题”(参见徐利治《论无限》P22页，第1行)。
      徐氏可达概念是为克服新Berkeley悖论而提出的。徐氏可达的概是在徐利治《论无限》一书2.6节〔关于极限可达到情形的讨论〕中叫做“可实现的”(即可实现极限可达情形的)。徐利治先生在这一节中，是如下定义“可实现”的：
       【定义】：设有极限表达式(＊)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)，f(x)在\(x_0\)有定义，且满足下列两条件：(i)x→\(x_0\)]，f(x)→A];(ii)f(x)=A. 当且仅当\(x=x_0\)，则称表达式(＊)是“可实现的”。(参见徐利治《论无限》P22页9—13行)。
      很咱显根据徐利治先生“可实现的”定义，连续函数在其定义域内任何点都是极限可达的。
       对于数列的极限可达性请参见该节注2.

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-20 15:09
你解释了徐氏可达为何被扬弃了？

elim先生：
        徐氏可达并没有被现代分析扬弃，而是广泛用于数学、力学中(参见徐利治《论无限》\(P_{22_25\)页\)
        徐利治先生认为：“变量与函数同时以实无穷方式达到极限的问题，是一个不可忽视的问题”(参见徐利治《论无限》P22页，第1行)。欲知徐氏可达，是否扬弃，先密弄清楚徐氏可达的概念。
      徐氏可达概念是为了克服新Berkeley悖论而提出的。徐氏可达的概念是在徐利治《论无限》一书2.6节〔关于极限可达到情形的讨论〕中叫做“可实现的”(即可实现极限可达情形的)。徐利治先生在这一节中，是如下定义“可实现”的
       【定义】：设有极限表达式(＊)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)，f(x)在\(x_0\)有定义，且满足下列两条件：(i)x→\(x_0\)]，f(x)→A];(ii)f(x)=A. 当且仅当\(x=x_0\)，则称表达式(＊)是“可实现的”。(参见徐利治《论无限》P22页9—13行)。
      很明显根据徐利治先生“可实现的”定义，连续函数在其定义域内任何点都是极限可达的。
       对于数列的极限可达性请参见该节注2.

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2023-12-21 05:24
elim先生：
        徐氏可达并没有被现代分析扬弃，而是广泛用于数学、力学中(参见徐利治《论无限》\ ...

春风晚霞：第一，你说的{定义，连续函数在其定义域内任何点都是极限可达的。} 是对的，但还有不连续函数。
第二，关于无穷的概念，存在着潜无限与实无限的争论。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-20 22:24
elim先生：
        徐氏可达并没有被现代分析扬弃，而是广泛用于数学、力学中(参见徐利治《论无限》\ ...

把大人物的东西作为语录被不当引用套用，一个相时久远时代的中国特色．

先生跟范副，jzkyllcjl 用可达不可达没完没了地较劲，就是滥用徐氏可达的好处．

徐利治无非是说\(\infty\)是收敛序列关于定义域\(\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}\)的可去间断点.
而我称为徐氏可达的那种陈述肯定已被抛弃．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-21 05:07
我称【\((\displaystyle\lim_{m\to\infty}a_m=a)\implies\) (当 \(n\to\infty\)时 \(a_n = a\))】这个一 ...

elim先生
       如果先生把命题【\((\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a)\)\(\implies\)\((当n→∞时a_n=a)\)】称着徐氏可达的话，那么徐氏可达更是正确的！因为严格地说该命题的题设和结论是同义反复。因为如果用日常语言(口语)解读\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)那就是\(当n→∞时a_n=a\)，反之若把\(当n→∞时a_n=a\)符号表示，那就是\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)！
      对于正项序列\(\{ a_n\}\)，\(s_n=\)\(\displaystyle\sum_{m=1}^n a_m\)，s=对于正项序列\(\{ a_n\}\)，\(s=\)\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n\)也有若把“\(s=\)\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n\)”口语化则有“当n→∞时，\(s_n\)=s”，反之若把“当n→∞时，\(s_n\)=s”符号化亦有“\(s=\)\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}s_n\)”。
       elim先生以为【春风晚霞认为需要徐氏可达才有 \(\displaystyle\sum_{n=1}a_n=a\) 达到 s，而标准分析明示尽管\(\{s_n\}\)达不到s, s就是级数和\(\displaystyle\sum_{n=1}^∞ a_n=a\)】是不是太不厚道了。不厚道之处，尚望先生自酌。

痛打落水狗

春风晚霞 发表于 2023-12-21 05:14
痛打落水狗网友：
       感谢您关注并参与“徐氏可达”问题的讨论。
        徐利治先生认为：“变量 ...

感谢先生回复。但是这样一来事情就清楚了，很遗憾，您恐怕确实对徐利治先生这段论述作出了错误理解。
首先，徐先生定义的是极限表达式(*)“可实现”，但从中看不出来他更改了函数极限的定义，换句话说，总得先定义极限，才能有极限表达式“可实现”的概念，因此总的来说不可能得出与经典分析不同的结果。
其次，从条件ii) \(f(x)=A\)当且仅当\(x=x_0\) ，确实可以得出单调连续函数的极限表达式在其定义域内各点都是“可实现”的。
第三，数列是定义在自然数集或整数集上的函数，与定义在实数域上的函数并不相同，数列可以单调，但恐怕并未见过“连续数列”的概念，因而无法简单套用，更得不出类似“任何数列的极限表达式都在无穷多个整数处可实现”的结论。
第四，\(n\to\infty\)与\(x\to x_0\) 以及\(x\to\infty\)是各不相同的极限过程，即便是徐先生这个定义，也不曾包含针对广义实数集中“无穷大”的情况，但不知您提到的该节注2是否包含相关内容？
第五，对于数列，即便效仿徐先生的定义，也应当有类似条件ii) 的 \(a(n)=A\)当且仅当\(n=n_0\) 之类条件，这完全是一个初等问题，很显然，本楼中讨论的几个级数均不满足该条件。不知注2是否包含相关内容。
第六，综合四五两点，春风晚霞先生还需要介绍一下注2的具体内容，才能弄清来龙去脉。

春风晚霞

      现代《数学分析》不可避免要对无穷大(∞)和极限展开讨论。因为在人类的数学实践中，离开极限方法根本不可能完成对有关无穷计算和论证。如用有限范围内的求和方法计算无穷级数的和，必然遭遇曹俊云先生所说的“写不到底、算不到底”的尴尬。
       1、无穷的概念
       菲赫金哥尔茨《微积分学教程》是这样定义无穷大的：
     【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持′着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\). 为应用方便我们把这个集合记为\(\mathbb{N}_∞\)。根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
       2、n→∞的诠释
       因为∞是一个集合概念，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)(即n→∞)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)\(即(n\nrightarrow ∞)\)两种情况。也就是n等于无限集\(\mathbb{N}_∞\)中任何一个数时都叫n→∞。
      3、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（\(N_E\)与预先给定的任意大的数E相关。该命题本帖证明从略)
      4、Weierstrass 的ε—N数列极限定义，
       【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)。
       随例1：证明常数列\(\{a_n\}\)\(通项a_n=a(a为常数)\)的极限\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).
       【证明】：因为对任给的ε>0，存在N=1，当n>N时恒有|\(a_n\)-a |=| a-a |=0<ε. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)。【证毕】
       随例2、证明数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0 .
      【证明】：对任意预先给定的、无论怎样小的ε>0，存在\(N_ε\)=\([\tfrac{1}{ε}]+1\)，当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(\tfrac{1}{n}-0\)｜=\(\tfrac{1}{n}\)<\(\tfrac{1}{[\tfrac{1}{ε}]+1}\)<\(\tfrac{1}{\tfrac{1}{ε}}\)=ε. 所以数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0. 即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)【证毕】。
       5、根据数列\(\{a_n\}\)的极限\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)，\(\{a_n\}\)的通项\(a_n\)可表为：
\(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&(1)\\a\quad n∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&(2)
\end{cases}\)。\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的通项\(a_n\)可表为：
\(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{n}\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N\}&(1)\\0\quad n∈\{n｜n>N_ε，n∈N\}&(2)
\end{cases}\). 由函数\(y=\tfrac{1}{10^x}\)的图像知，函数\(y=\tfrac{1}{x}\)的图像当x>10000后就与x轴重合了。当然10000不是很大的数，更不是无穷大。所以说\(\tfrac{1}{n}\)永远不等0是绝对错误的。