【解读黑格尔】 运动：“在这个地点又不在这个地点”

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2011/04/15 10:08pm 发表的内容：
这个问题可以向陆教授确认一下。
不过我认为陆教授会否定你的这种说法的。

《非标准分析》中的无穷大 Ω=1/ε ，类似于一个单位元
但《非标准分析》遵守的是“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑规则

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2011/04/15 09:54pm 发表的内容：
简单举一例：
由欧氏几何发展为非欧几何，就是确凿无疑的“确定性的丧失”。

仍然还是老样子，即【过渡】阶段性质的

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/04/16 07:59pm 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2011/04/15 10:08pm 发表的内容：
这个问题可以向陆教授确认一下。
不过我认为陆教授会否定你的这种说法的。

从标准分析来看，在正实数和0之间是没有空隙的；
从非标准分析来看，在正实数和0之间是有空隙的，这些空隙中放了些什么东西呢？放的就是这些无穷小量。
这就是说：鲁滨逊非要在0和非0之间挤出一块空地来，用以存放实数中本来没有的数，企图要用确定的语言来描述不确定的“似与不似”的问题。
那么，鲁滨逊的目的达到了没有？
一方面看，似乎达到了，因为这样来解释“无穷小”似乎要比原来的描述要确定得多；
但另一方面看，似乎又没有达到，因为这样一来，却把本来连续的实数变成不连续的了，也就是说，实数就像有理数和无理数一样，存在无穷多的间断点。这显然和实数的连续性产生了严重的矛盾。
也就是说，实数是连续的，但是用超实数（非标准分析）的观点来看，实数却是间断的。
难道说，连续也是相对的？
不知陆老师如何解释这个矛盾？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/04/16 08:14pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/04/15 03:53pm 发表的内容：
这要看您怎么理解/界定确定性了。
如果对确定性没有了确定的理解。那么还有什么不丧失的道理？

我们对确定性应该有一个确定的理解。但是，随着时间的推移和事情的变化，对确定性的理解，当然也会发生变化。
比如，非欧几何的出现，毫无疑问地是打破了当时人们对确定性的认识，这是确定的；
但是，至于通过这件事情的教训，后来人们对确定性有了新的理解，这也是确定的。
再比如，哥德尔不完全性定理出现以后，人们对数学确定性的理解也一定发生一个变化，产生了一个飞跃。这些也都是确定的。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/16 08:03pm 发表的内容：
我们对确定性应该有一个确定的理解。但是，随着时间的推移和事情的变化，对确定性的理解，当然也会发生变化。
比如，非欧几何的出现，毫无疑问地是打破了当时人们对确定性的认识，这是确定的；
但是，至于通过这 ...

还是看看您的确定性是什么吧，这样才好了解为什么非欧几何的出现它就丧失了。

门外汉

下面引用由天茂在 2011/04/16 07:58pm 发表的内容：
从标准分析来看，在正实数和0之间是没有空隙的；
从非标准分析来看，在正实数和0之间是有空隙的，这些空隙中放了些什么东西呢？放的就是这些无穷小量。
这就是说：鲁滨逊非要在0和非0之间挤出一块空地来，用以存放实数中本来没有的数，企图要用确定的语言来描述不确定的“似与不似”的问题。
那么，鲁滨逊的目的达到了没有？
一方面看，似乎达到了，因为这样来解释“无穷小”似乎要比原来的描述要确定得多；
但另一方面看，似乎又没有达到，因为这样一来，却把本来连续的实数变成不连续的了，也就是说，实数就像有理数和无理数一样，存在无穷多的间断点。这显然和实数的连续性产生了严重的矛盾。
也就是说，实数是连续的，但是用超实数（非标准分析）的观点来看，实数却是间断的。
难道说，连续也是相对的？
不知陆老师如何解释这个矛盾？

这个问题问得挺好。我也想从中学习学习呢。
不过，我听说，非标准分析也不是那么完美呢，缺陷肯定是有的。要不然怎么能称为是“非标准”呢，和“非主流”的含义也差不太多了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/04/16 07:58pm 发表的内容：
从标准分析来看，在正实数和0之间是没有空隙的；
从非标准分析来看，在正实数和0之间是有空隙的，这些空隙中放了些什么东西呢？放的就是这些无穷小量。
这就是说：鲁滨逊非要在0和非0之间挤出一块空地来，用以存放实数中本来没有的数，企图要用确定的语言来描述不确定的“似与不似”的问题。
那么，鲁滨逊的目的达到了没有？
一方面看，似乎达到了，因为这样来解释“无穷小”似乎要比原来的描述要确定得多；
但另一方面看，似乎又没有达到，因为这样一来，却把本来连续的实数变成不连续的了，也就是说，实数就像有理数和无理数一样，存在无穷多的间断点。这显然和实数的连续性产生了严重的矛盾。
也就是说，实数是连续的，但是用超实数（非标准分析）的观点来看，实数却是间断的。
难道说，连续也是相对的？
不知陆老师如何解释这个矛盾？

    如果把实数的“连续性”，理解为“在两个实数之间不可能有非实数存在”，
那么，在非标准分析中，这样的“连续性”显然是不成立的，因为按照非标准分析
的观点，在任何两个实数之间，都存在着无数多个不是实数的“超实数”。
    但是，这样理解的“连续性”，只是一些人自己“想当然”的理解，在数学中，
其实并没有这样的定义。
    在数学中，只有函数的连续性，映射的连续性，并没有什么实数的“连续性”。
    在标准数学中，与实数“连续性”意思相近的，应该说就是实数域的“完备性”，
它的严格定义是这样的：任何一个柯西收敛的实数点列，它的极限，仍然是一个实数。
    这个性质，在非标准分析中，仍然成立，在非标准分析中，任何一个柯西收敛
的实数点列，它的极限，也仍然是一个实数，不会是一个非实数。
    也就是说，在非标准分析中，按照原来的定义，实数域仍然是完备的。
    所以，非标准分析与原来标准定义的实数域的完备性（所谓实数的“连续性”）
并没有什么矛盾。

elimqiu

在标准分析中。实数的连续性是指实数是连续统。它有许多等价的说法。完备性是其中之一。最小上界性，有界闭集的有限开覆盖性，闭区间套定理，单调有界收敛定理等等都是实数连续性的刻划。另外也可以说，实数系到自身的恒等函数是连续的。而这个连续函数的像（就是实数系）因此获得了作为空间的连续性。

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/04/16 04:54pm 发表的内容：
在标准分析中。实数的连续性是指实数是连续统。它有许多等价的说法。完备性是其中之一。最小上界性，有界闭集的有限开覆盖性，闭区间套定理，单调有界收敛定理等等都是实数连续性的刻划。另外也可以说，实数系到自身的恒等函数是连续的。而这个连续函数的像（就是实数系）因此获得了作为空间的连续性。

如楼上 elimqiu 所说的，也可以把实数的“连续性”理解为，构造一个从实数到实数自身
的函数：f(x)=x ，x∈R ，在标准分析中，这个函数是连续的。
像这样的函数，按照非标准分析中的连续定义看来，同样也是连续的。
所以，如果这样来理解实数的“连续性”，那么，这种实数的“连续性”，与非标准分析
并没有什么矛盾。

门外汉

我想天茂问的意思可能是这样的：在非标准分析中的“无穷小量”，它小于所有正实数，那么，这个“无穷小量”是不是0呢？如果它不是0，那么它就大于0，小于所有的正实数。
在标准分析中，小于所有正实数的数一定就是0（负数除外）。所以天茂可能会说：非标准分析是在0和所有正实数之间挤出一块“空地”来，安插进了这个“无穷小量”，所以这个无穷小量似0非0.