[讨论] 这是一个集合悖论吗？？？

APB先生

什么是无穷大的‘极限’？ ∞→∞^∞？

elimqiu

先得定义无穷大

APB先生

下面引用由elimqiu在 2011/05/25 00:44am 发表的内容：
先得定义无穷大

对！先得定义无穷大。

elimqiu

显然反转映射把(0,1)的实数对应成 …An…A1 这种数码序列。这个对应是一一的。
楼主认为形如  …An…A1 的数码序列全体恰是自然数的不重不漏的表达。
于是这就确立了 (0,1) 到 自然数全体的一一对应，因而 (0,1)的实数全体可数。
elimqiu 认为形如  …An…A1 的数码序列的大部分（不可数多）都不表达自然数。它们的量值意义至多只是同一个∞。 所以反转映射不确立 (0,1) 到自然数全体的一一对应。这构成对楼主结论的否定。
elimqiu 证明了自然数皆有限，楼主称此举复杂化了讨论，并称不知本人所云。
看来讨论有待突破。我们都同意要对何谓无穷大给出严格的界定。
此为这个主题讨论的一个小结。

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/05/27 07:41pm 第 1 次编辑]

154楼小结基本属实；暂停争论，先定义无穷大：

根据皮亚诺公理的第 2 条：每一个确定的自然数 a 都有一个确定的后续数 a+1，可以推出每一个有限的自然数 a 都有无穷多的后续数 a+1+1+1+……，而 a+1+1+1+…… 也可以写为……+1+1+1+a ，写法不同，但是表示的却都是趋于无限的自然数，……+1+1+1+a 与 ……An……A1 也是一样的表示趋于无限的自然数。自然数可以是有限的，也可以是无限的；只承认其有限而否认其无限，或只承认其无限而否认其有限都是错误的。

elimqiu

说了半天，不过是说自然数大了还能再大，这哪里是个别自然数无穷大的理由?

zhujingshen

下面引用由APB先生在 2011/05/24 07:03pm 发表的内容：
因为自然数有无穷多；所以有a+1+1+1+……；所以使有限的自然数 a→∞。

自然数加自然数，还是自然数。
如果，你这里是自然数加无穷大数，就不是自然数了，变成超越数了，因为你说不出+1的个数，说加无穷的1。
自然数是代数数，可数数，无穷大是超越数，不可数数。本质已经变了。
APB先生  说的可能是极大的自然数，依然是自然数，不是“无穷自然数”。
“无穷自然数”不再遵循皮亚诺公理。

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/05/28 05:37pm 第 1 次编辑]

答 156 楼：不是个别自然数，而是全部或每一个自然数都是可以趋向无限的；根据就是皮亚诺公理第 2 条；难道您证明过的有限自然数大到等于 a 时就不会有后续数 a+1，a+1+1，a+1+1+1，……，了 ？

zhujingshen

下面引用由APB先生在 2011/05/28 11:13am 发表的内容：
不是个别自然数，而是全部或每一个自然数都是可以趋向无限的；根据就是皮亚诺公理第 2 条；难道您证明过的有限自然数大到等于 a 时就不会有后续数 a+1，a+1+1，a+1+1+1，……，了 ？

我的无穷大数10000......，50000......，等都相等，没有后续数。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=-
虽然10000......+1也是数，因为数值不再增加，因此，不再遵循皮亚诺公理。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/05/28 11:13am 发表的内容：
不是个别自然数，而是全部或每一个自然数都是可以趋向无限的；根据就是皮亚诺公理第 2 条；难道您证明过的有限自然数大到等于 a 时就不会有后续数 a+1，a+1+1，a+1+1+1，……，了 ？

5 就是 5， 不会趋向无穷， 10000 就是 10000， 也不会趋向无穷。没有一个自然数会趋向无穷， 而自然数变量趋向无穷，就不再是自然数了。