请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/08 07:36am 第 6 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/07 09:09pm 发表的内容：
在新的平面射影几何中，如果按照第一种方法处理，不允许直线延伸到无穷远点之外，那么，射影平面拓扑等价于一个圆面；如果按照第二种方法处理，允许直线延伸到无穷远点之外，那么，射影平面拓扑等价于一个球面。
不管是圆面还是球面，都是双侧的可定向的曲面，所以，在新的射影几何中，射影平面与那些单侧的不可定向的曲面，如莫比乌斯带、交叉帽、克莱因瓶等等，都没有关系。
这应该说是新射影几何的一个优点，因为莫比乌斯带、交叉帽、克莱因瓶等，都比较古怪，不容易被人们接受，相比之下，圆面、球面就简单得多，也优美得多了。

从外表看，新的射影几何确实比现行的射影几何要简单优美，且更接近于人们的直观。但这不正是欧氏几何的特征吗？
也可以说，新的射影直线对应的仅仅是欧氏直线中的局部线段，新的射影平面对应的也仅仅是欧氏平面中的局部区域。建立这样的几何系统有何意义？
请教陆老师：这大概就是数学家们认为没有必要建立这样的几何系统的一个原因吧？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/05/07 09:09pm 发表的内容：
在新的射影几何中，像现有的射影几何中那样的对偶命题、对偶原则，如果不做任何补充修改，那是不成立的。
例如，在现有的射影几何中，有下列两条互为对偶的命题：
   “过射影平面中任何两点，可以作一条而且只能作一条直线。”
   “射影平面中任何两条直线，都有一个而且只有一个交点。”
在新的射影几何中，像上面那样的第二条命题，就不成立了。
如果按照第一种方法处理，射影平面拓扑等价于一个圆面，这时第二条命题要修改为：
   “射影平面中任何两条非无穷远直线，都有一个而且只有一个交点。
     但是，非无穷远直线与无穷远直线，有两个而且只有两个交点。”
如果按照第二种方法处理，射影平面拓扑等价于一个球面，这时第二条命题要修改为：
   “射影平面中任何两条直线，都有两个而且只有两个交点。”
这样补充修改后的命题，对偶性当然就要大大地打折扣了。所以，从对偶性方面来看，新射影几何就远远不如现有的射影几何那样简单、那样优美了。

从实质上来说，新的射影几何还是有它不同于欧氏几何的特点的，但是，确实比现有的射影几何要繁琐复杂得多。
请教陆老师：这大概也是数学家们认为没有必要建立这样的几何系统的一个主要原因吧？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/08 07:11am 发表的内容：
从外表看，新的射影几何确实比现行的射影几何要简单优美，且更接近于人们的直观。但这不正是欧氏几何的特征吗？
也可以说，新的射影直线对应的仅仅是欧氏直线中的局部线段，新的射影平面对应的也仅仅是欧氏平面　...

“这样的射影几何讨论的内容要比欧氏几何少得多，它仅仅是欧氏几何的一小部分而已。”

这样的说法不对，在欧氏几何中，没有无穷远点和无穷远直线，欧氏几何平面拓扑等价于
一个圆盘，但是不包括它的边缘，而新的射影几何中有无穷远点和无穷远直线，射影平面
拓扑等价于一个包含边缘的圆盘。所以，应该反过来说：

“这样的射影几何讨论的内容要比欧氏几何更多，欧氏几何仅仅是它的一部分而已。”

我想，这种新的射影几何之所以没有被数学家采用，主要是因为它与现有的射影几何相比，
缺少了对偶性，许多原来对偶的命题、法则，必须修改补充后才能成立，叙述起来非常罗嗦、
麻烦，远远不如现有的射影几何那样简单、优美。

天茂

[B]接受陆老师153楼的批评。
请陆老师继续批评145楼的内容。[/B]

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/08 11:35am 发表的内容：
接受陆老师153楼的批评。
请陆老师继续批评145楼的内容。

我那时说的意思就是：
（1）射影直线上的点是不能排序的。
（2）如果射影直线上去掉一个点，剩下的点是可以排序的，但是严格说来，去掉一个点的
     射影直线，已经不是射影直线了。
（3）如果又要使得射影直线上的点可以排序，又要保持射影直线完整不变，这样的要求是矛
     盾的，如果谁坚持要这样做，那就是额外的无理要求。
（4）我说“无理”，不是说我们不可以讨论“如果射影直线上去掉一个点会怎样”的问题，
     这样的讨论是完全可以的。我上面说“如果射影直线上去掉一个点，剩下的点是可以
     排序的”，其实就是在讨论这样的问题。梅向明等人编著的《高等几何》，我没有看过，
     不知书中怎么说的。但我猜想书中“先把无穷远点挖去”，也属于这样的讨论，这当然
     是可以的。

天茂

[B]梅向明 刘增贤 林向岩 编著的《高等几何》（高等教育出版社1983年第一版）

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/08 08:56pm 发表的内容：
梅向明 刘增贤 林向岩 编著的《高等几何》（高等教育出版社1983年第一版）梅向明 刘增贤 门树慧 编著的《高等几何》（高等教育出版社1988年第一版）
书中好像没有“先把无穷远点挖去”的意思，挖去就挖去了，不会再补回来了。

    书上说：“可以把挖去无穷远点的直线上的点排成顺序”，与我说的：“如果射影直线上
去掉一个点，剩下的点是可以排序的”，意思是完全一样的。
    也就是说，射影直线必须作一些改变，不再是原来那样完整无缺的、标标准准的射影直线，
射影直线上的点才可以排序。
    显然，我们不能把书上的话理解为：自从书上说了上面这句话以后，无穷远点就可以永远从
射影直线中挖去了，而挖去了无穷远点的射影直线，仍然还是一条完整的、标准的射影直线。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/09 02:16pm 第 2 次编辑]

[A]下面引用由luyuanhong在 2012/05/08 09:41pm 发表的内容：
   书上说：“可以把挖去无穷远点的直线上的点排成顺序”，与我说的：“如果射影直线上去掉一个点，剩下的点是可以排序的”，意思是完全一样的。
   也就是说，射影直线必须作一些改变，不再是原来那样完整无缺的、标标准准的射影直线，射影直线上的点才可以排序。
   显然，我们不能把书上的话理解为：自从书上说了上面这句话以后，无穷远点就可以永远从射影直线中挖去了，而挖去了无穷远点的射影直线，仍然还是一条完整的、标准的射影直线。

[B]请教陆老师：
将射影直线中最重要、最具特色的一个点——“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？这不变成欧氏直线了吗？
在一个系统的公理中特意将“无穷远点”排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？
[/B]

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/09 02:07pm 发表的内容：
请教陆老师：
将射影直线中最重要、最具特色的一个点——“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？这不变成欧氏直线了吗？
在一个系统的公理中特意将“无穷远点”排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？

下面举一个例子，比如说，我们可以提出这样一条定理：
“定理 如果从全体素数中除去 2 ，那么全体素数就都是奇数。”
如果有人提出质疑：
“将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数—— 2 除去，素数还能叫素数吗？”
“在一个素数定理中特意将素数 2 排除在外，那么，在素数定理系统中还可能再出现 2 吗？”
你遇到这样的质疑，又该怎么回答呢？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/09 05:46pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/09 02:53pm 发表的内容：
下面举一个例子，比如说，我们可以提出这样一条定理：
“定理 如果从全体素数中除去 2 ，那么全体素数就都是奇数。”
如果有人提出质疑：
“将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数—— 2 除去，素数还能叫素 ...

和“将射影直线中最重要、最具特色的一个点——“无穷远点”挖去，这条直线还能叫射影直线吗？”相对应的句子应该是：
“将素数中第一个遇到的、最具有特色的一个数—— 2 除去，全体素数还能叫全体素数吗？”

和“在一个系统的公理中特意将‘无穷远点’排除在外，那么，这个系统中还有可能会再出现“无穷远点”吗？”相对应的句子应该是：
“假如有一个素数公理系统的话，在公理中特意将素数 2 排除在外，那么，在这个素数公理系统中还可能再出现 2 吗？”

陆老师以为是不是这样？