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发表于 2010-5-15 05:10
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[分享，讨论]数学的启示/数学是什么
[这个贴子最后由elimqiu在 2010/05/14 10:49pm 第 1 次编辑]
下面引用由elimqiu在 2010/05/13 02:01pm 发表的内容：
现在我们面临另一个挑战：证明任给自然数 a,b,    a < b, a = b, a > b 这三种情况有且只有一种成立。
再来一个挑战： 对任意自然数 n, 不存在自然数k 使得 n < k < n';
记全体自然数所成的集合为 N
根据 < 的定义，我们有 a < b, b < c → a < c，及 m < n ←→ m'; < n';
命题0: 若 n ∈ N, n = 0 或者 0 < n
证明：令 S = { n ∈ N: n = 0 或者 0 < n}，那么 0 ∈ S.
假定 n ∈ S，那么 当 n = 0 时 n'; 是 0'; 所以 0 < n';;
当 n ≠ 时 我们有 0 < n < n'; 故 0 < n'; 从而 n'; ∈ S. 故 S = N
推论0：若 n ∈ N. 则 n = 0 或 存在 m ∈ N 使得 n = m';
命题1：n'; ≠ n
证明： 令 S = { n ∈ N: n'; ≠ n } 由公理(4),0∈S. 假定 n ∈ S, 那么n'; ≠ n.
如果 n'; 不在 S 里，那么 (n';)'; = n'; 由公理(3)得n'; = n 这与 n ∈ S 矛盾。所以 n';∈ S.
即 S = N 所以任意自然数的后继都不等于自己。
命题2：若a, b∈ N，则a = b 和 a < b 不都成立。
证明：令 S = {b ∈ N: 对任意a ∈ N, a = b 和 a < b 不都成立}
0不是任何自然数的后继，所以a < 0不成立，即 0∈S
设 n ∈ S 即对每个自然数a, a = n 和 a < n 不都成立。
如果 a = n'; 且 a < n'; 那么 a ≠ 0 所以有某 m ∈ N 使得 m';=a
于是 a = m'; < n';→ m < n, a = m';=n'; → m = n, 这样n就得到不属于S的矛盾。
所以a = n'; 与 a < n';不能都成立。即 n';∈ S 于是 S = N.
命题3：若a,b∈ N，则 a < b 和 b < a 不都成立。
证明： 由 < 的传递性，a < b 和 b < a 都成立导致 a < a,
于是就有 a = a, a < a 都成立，这与命题2矛盾。
命题4：若a,b∈ N 则 a < b , a = b, b < a 至少有一个成立
证明：令 S = {b ∈ N: 对任意a ∈ N, a < b 或 a = b 或 b < a}
由命题0，对任意a ∈ N， a = 0 或 0 < a 所以 0 ∈ S
设 n ∈ S, 但有某 a ∈ N 使得 a < n';， a = n';， n'; < a 均不成立。
那么由命题0及其推论，a ≠ 0，有某 m ∈ N 使得 a = m';, 于是
m < n, m = n, n < m 均不成立。 这与 n ∈ S 矛盾。故 n'; ∈ S 即 S = N.
定理1：若a, b∈ N，则a < b, a = b, a > b 这三种情况有且只有一种成立
证明：这是命题2，3，4的推论。
命题5： 对任意自然数 n, 不存在自然数k 使得 n < k < n';
证明： 如果有这样的自然数n 和 k, 那么由 n < k 知 n';=k 或 n'; < k
这与命题2或3矛盾。
定义：若E是N的子集，e ∈E 称为 E 的最小元，如果E中不等于e的元都大于e.
定理2：若 S 是 N 的非空子集，那么S含有最小元素。
看看怎么证定理2。 这个定理的重要性是非常显著的。有了它很多定理的证明就变得很容易。 |
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发表于 2010-5-14 17:38
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