【解读黑格尔】 运动：“在这个地点又不在这个地点”

elimqiu

即使作为子空间的R在 R* 有大量空隙， 也不等于 R 自身作为全空间有空隙。不同的空间结构，拓扑不能相提并论。
还是要把概念搞清楚。

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2011/04/17 08:33am 发表的内容：
我想天茂问的意思可能是这样的：在非标准分析中的“无穷小量”，它小于所有正实数，那么，这个“无穷小量”是不是0呢？如果它不是0，那么它就大于0，小于所有的正实数。
在标准分析中，小于所有正实数的数一定就是0（负数除外）。所以天茂可能会说：非标准分析是在0和所有正实数之间挤出一块“空地”来，安插进了这个“无穷小量”，所以这个无穷小量似0非0.

楼上的理解不错，确实是这样：在标准分析中，绝对值小于任何正实数的数一定是 0 。
而按照非标准分析观点看来，在 0 与正实数之间，还可以“挤出一块空地”，其中有
无数多个小于任何正实数、但大于 0 的“正无穷小量”。在 0 与负实数之间，也可以
“挤出一块空地”，其中有无数多个大于任何负实数、但小于 0 的“负无穷小量”。
不仅如此，在任何一个实数 a 的左右两侧，也存在无数多个不是实数的“超实数”，如：
a+1/Ω，a+2/Ω，a+3/Ω，a+4/Ω，…… ，a-1/Ω，a-2/Ω，a-3/Ω，a-4/Ω，……
（其中 Ω 是无穷大正整数，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…… 是正无穷小量）。
非标准分析的观点，当然与标准分析的观点不同。但是，这种不同的观点，并不会带来
什么矛盾和悖论，反而能使一些纠缠不清的问题，可以看得更清楚，变得更容易理解。

elimqiu

设超实数 β 小于任意正实数，但大于0， 那么
nβ < 1 对一切标准正整数（自然数） n 成立。 这就是说 β 是不能拿来作为单位常规地，直觉地度量其他量的。（例如它不能作为一把尺来量布匹，裁衣服...）。 所以非标准实数系有它非常不符合直觉经验的方面。

ygq的马甲

非标准分析，其实是用在“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑区域的，并不是非常理解的扩展
只能是辅助性质的东西
尽管遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑，但用在“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑范围，是没有多大价值的

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/04/17 04:01am 发表的内容： 设超实数 β 小于任意正实数，但大于0， 那么 nβ < 1 对一切标准正整数（自然数） n 成立。 这就是说 β 是不能拿来作为单位常规地，直觉地度量其他量的。（例如它不能作为一把尺来量布匹，裁衣服...）。 所以非标准实数系有它非常不符合直觉经验的方面。

当 β 是一个正无穷小量时，的确，对任何正整数（非无穷大的标准的正整数）n , 都必有 nβ<1 。但是，当 n 是一个无穷大整数时，就可以有 nβ>1 了。 不仅如此，对任何正整数 m ，总可以找到一个无穷大正整数 n ，使得 nβ>m 。 可见，非标准分析与我们直觉的经验，也没有太大的距离（只要我们思想上敢于 做一个大胆的“跳跃”，愿意接受“存在一个无穷大正整数”这一条就可以了）。

elimqiu

这些东西逻辑上没有问题，认识上也没有什么困难。但逻辑上的平行/类似是不会抹杀操作上，经验上不可忽略的差别的。
操作意义上的度量离不开有限性。在数学上这个性质被特别地提出来：叫作标准线性数系的阿基米德性。
大体说来，我们很容易把实际的问题用标准分析下的实数系作模型。而不是非标准实数系。即使普朗克常数也不是小于任何正实数的数。
指出这些差别不是要排斥非标准分析。而是为了更好地认识R和R*
超实数系的‘超穷整数’子集没有办法作为数的内部属性来建立。只能人为地指定。这也是一个问题。所谓具有有限整数的一切性质，是很空洞的。其实‘超整数’不满足 peano 公理，所以不会有什么整数的性质。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/17 02:01pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/04/17 05:55am 发表的内容：
这些东西逻辑上没有问题，认识上也没有什么困难。但逻辑上的平行/类似是不会抹杀操作上，经验上不可忽略的差别的。
操作意义上的度量离不开有限性。在数学上这个性质被特别地提出来：叫作标准线性数系的阿基米德性。
大体说来，我们很容易把实际的问题用标准分析下的实数系作模型。而不是非标准实数系。即使普朗克常数也不是小于任何正实数的数。
指出这些差别不是要排斥非标准分析。而是为了更好地认识R和R*
超实数系的‘超穷整数’子集没有办法作为数的内部属性来建立。只能人为地指定。这也是一个问题。所谓具有有限整数的一切性质，是很空洞的。其实‘超整数’不满足 peano 公理，所以不会有什么整数的性质。

自然数的 Peano 公理，只要稍加改造，就可以变成对（包括自然数和无穷大自然数在内的）
全体超自然数成立的“超自然数的 Peano 公理”。
这个“超自然数的 Peano 公理”由下列 5 条组成：

（1）1 是超自然数。
（2）每一个确定的超自然数 x ，都有一个确定的后继 x';=x+1 ，x'; 也是超自然数。
（3）1 不是任何超自然数的后继。
（4）如果超自然数 x≠y ，那么它们的后继也不同，即必有 x';≠y'; 。
（5）任何一个超自然数的集合，如果包含 1 、并且当它包含 x 时必包含 x'; ，那么，
这个集合必定包含所有的超自然数。

    只要模仿从“自然数的 Peano 公理”推导出整数各种性质的做法，从这个“超自然数
的 Peano 公理”，就可以平行地推导出超整数的各种性质。
-----------------------------------------------------------------------
    实数的 Archimedes 性：
“对任何两个正实数 x,y ，总可以找到一个正整数 n ，使得 nx>y 。”
也只要稍加改造，就可以变成对超实数成立的“超实数的 Archimedes 性”：

“对任何两个正的超实数 x,y ，总可以找到一个超正整数 n ，使得 nx>y 。”

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2011/04/17 01:52pm 发表的内容：
自然数的 Peano 公理，只要稍加改造，就可以变成对（包括自然数和无穷大自然数在内的）
全体超自然数成立的“超自然数的 Peano 公理”。
这个“超自然数的 Peano 公理”由下列 5 条组成：
（1）1 是超自然数。
...

这是不可能的。这样的‘超自然数’系必然和标准的自然数集有1-1对应，从而根本没有无穷大自然数在里面。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这种1-1对应是保持所有代数性质的。叫作代数同构。 所以除了名称的不同，没有性质的不同。即没有无穷大自然数会在这样的数系中。

申一言

自然数序列已经让人类望尘莫及了，哪儿来的超自然数？
  那只不过是某些人的想当然而已！
     Ω（1，2，3，，，n）
     Ω&#710;i(1，2，3，，，n)
     *******************
     Ω&#710;Ω（1，2，3，，，n)）
  任何数都在如来佛手掌之中！
     ."".    ."",
     |  |   /  /
     |  |  /  /
     |  | /  /
     |  |/  ;-._
     }  ` _/  / ;
     |  /` ) /  /
     | /  /_/\_/\
     |/  /      |
     (  '; \ ';-  |
      \    `.  /
       |      |
       |      | （√2n）&#710;2，  n→∞

   

elimqiu

我们走题了。