[分享]概率怪论

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/22 07:07pm 发表的内容：
“圆上任取两点”和“圆内任取一点”这两种情况的讨论可以告一段落：
“圆上任取两点”对应着解法一，其结果是1/3；
“圆内任取一点”对应着解法三，其结果是1/4 。
随后考察“圆内和圆上各取一点”及“圆内任取两点”这两种情况，看它们各自对应哪种解法？

对于“圆内和圆上各取一点”的情形，可以计算概率如下：

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/06/23 01:56am 第 1 次编辑]

1，感觉陆老师的含概率说法在内的取A点的方法与取B点的方法互不相容，存在矛盾；
2，就单个的取A点或单个的取B点及其概率，是可行的；
3，矛盾在于：
（这里可能用词不当，估计可以达意）从数学的体系或微分的角度，线为点或无穷小线段之集，面为线之集，体为面之集；由此，园或扇形是无限个园环或其段落之集，或者是无限个圆周或园乎之集；
   由此，可以认为，B点也是在圆周随机取，其概率也是按同半径圆周或弧段均等------，而不是按与半径无关的的面积比较其概率，，，
4，另一方面，因弦是指圆周两点之间的线段，图形ACOE间取点论概率与图形OCDE间取点论概率，存在重复，，，只能针对其中的一个图形论概率，，，
5，认识到“存在重复”之后，正确的答案出现了，只有一个，无须论证，即1/3；简单陈述：
    过A点做园的切线，切线和AC、AE将切线靠园侧的平角三等分；过A点所有靠园侧的射线都是园的弦；过A点以任意半径做一半园周，，，中部圆弧，，，说明问题，，，
6，果然简单的问题，，，搞晕了头，，，

天茂

下面引用由wangyangkee在 2011/06/22 08:55pm 发表的内容：
天茂 ：
1，感谢你在验算中的辛苦劳动；验算提示正确的思考和结论和放弃明显靠不住的思维；
2，本人认为，有一种按面积取点验算，可以昭示正确的结论-----------
     将园面按相等的角度划分等面积的扇形，进行 ...

谢谢先生提供的方案！
不过，我觉得似乎和解法一类似。
您能将您的方案叙述的更详细一些么？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/22 10:46pm 发表的内容：
对于“圆内和圆上各取一点”的情形，可以计算概率如下：

这个方案的结果显然在原来的三个方案之外，是一个新的解法，可称其为“解法四”。通过数据统计，这种解法已经被证实。如下图所示：

天茂

“圆内任取两点”的统计结果大约是 0.562，不知如何解释？

wangyangkee

下面引用由天茂在 2011/06/23 08:29am 发表的内容： 谢谢先生提供的方案！
不过，我觉得似乎和解法一类似。
您能将您的方案叙述的更详细一些么？

1，本人希望，在于寻找符合题意------在园上任做一弦，问其长度超过a的概率是多少？-----的答案；不包含设附加条件的答案，而且认为只有一个答案；如果有各种附加条件的答案，丰富思维，增长知识，也是乐事；关于这一点，本人没有水平，不去想他；首先追求符合题意的答案。 2，验算方法是： 将园面按相等的角度划分等面积的扇形，进行多种的等角度划分，每种划分出一个验算结果；对于某个划分方案的各个等角度的扇形，在其中取等量的点；取点可以采用任意半径，但要求半径值在0与园的半径间铺开；在同一或各扇形内，点可以考虑不在相对扇形的同样角度；每个方案的所有点按点的两两组合确定弦；求出符合条件的弦的概率。 3，太麻烦了；估计有相当的劳动量； 4，感谢你的应诺；通过昨晚的思考，本人认为答案是1/3；估计，要得出或逼近这个数，要取大量的点，，，还是算了吧，，，，

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/23 00:25pm 发表的内容：
“圆内任取两点”的统计结果大约是 0.562，不知如何解释？

对于“圆内任取两点”的情形，不能仅仅用“RAND()”语句来取横坐标和纵坐标。
因为这样取到的 A,B 两点，都落在第一象限内，在圆的 1/4 区域内，不是在整个圆内。
应该把“RAND()”改为“2*RAND()-1”，这样取到的 A,B 两点，才会分布在整个圆内。
下面是对“圆内任取两点”的情形，推导和计算的结果：

elimqiu

如果 AB 是圆的一条弦，那么 AB 上任意不同的两点都确定 AB 本身， 统计地说，点对确定较长的弦的重覆率较大。可见圆内随机取两点的模型按弦的长度加了权。弦的任意性有了倾向性。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/23 09:36pm 发表的内容：
对于“圆内任取两点”的情形，不能仅仅用“RAND()”语句来取横坐标和纵坐标。
因为这样取到的 A,B 两点，都落在第一象限内，在圆的 1/4 区域内，不是在整个圆内。
应该把“RAND()”改为“2*RAND()-1”，这样取到的 A,B 两点，才会分布在整个圆内。
下面是对“圆内任取两点”的情形，推导和计算的结果：

既然如此，我们前面对圆内任取一点都是用“RAND()”语句来取横坐标和纵坐标，就都应该改成改为“2*RAND()-1”才对。
先把前面的错误都改过来再说。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/23 03:06pm 发表的内容：
如果 AB 是圆的一条弦，那么 AB 上任意不同的两点都确定 AB 本身， 统计地说，点对确定较长的弦的重覆率较大。可见圆内随机取两点的模型按弦的长度加了权。弦的任意性有了倾向性。

是的！通过这个案例，我们发现康托尔关于一一对应的观点在遇到密度、随机、均匀这一类情况时，似乎遇到了严重的挑战。
也就是说，按照康托尔的观点，有限的不同长度的线段、不同大小的面积上的点都是“一样多”，那么，这些区域上的密度当然就互不相同了。
但是，如果假设不同区域内的点的密度相同的话（这实际上是几何概率问题的一个基本前提），那么，它们所包含的点数就不能“一样多”。
两个理论在这里发生严重的冲突，“怪论”产生的根源大概就在这里。