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本帖最后由 愚工688 于 2022-7-4 05:23 编辑
在X→∞，有1/X→0 ，这是个极限值，如你所说那样：它趋向于0，永远达不到0。
但是X→∞，1/lnX→0 这样的套用上面的极限趋0显然没有依据。lnX与X根本是两类不同阶的数，依样画葫芦的判断一个比值是缺乏数理依据的。
依据素数定理：
在x→∞时，x之内的素数数量有
π(x)=x/lnx ；（式1）
把（式1）的两边除以x,
就是π(x)/x=1/lnx; (式2）
式2的左边就是素数实际发生率；右边就是依据素数定理得出的素数理论发生率；
根据素数定理，x→∞时，π(x)→∞，这是实际能够观察到的现象。
但是，依据素数定理，能否得出素数发生率 1/lnx趋向无穷小吗？
实际上，素数定理式2的左面是两个无穷大的比值，也就是两个无穷小量的比值。
π(x)/x=1/X ÷1/π(x)
两个无穷小量的比值应该怎么计算？
资料：
无穷小量的比较
设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β
显然是由它们之间阶的高低来进行判断的。
而阶的高低又由什么来判断呢？
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。
显然是由无穷小量趋0的速度来进行判断。
那么素数定理变形而成的两个无穷小量的比值怎么样进行比较呢？
由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较：
x→∞时，有 lim 1/x→0； lim 1/π(x)→0 ；
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢？
引入一个已知的无穷小量 1/√x ，大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的？
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化：
x=10^2, π(10^2)=25; √x/π(x) = 0.4 ; (1/√x)=0.1； π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229; √x/π(x) ≈0.08137 ; (1/√x)=1e-2； π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455, √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4； π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5； π(x)/x ≈ .0455053; (0.789822)——1e10与1e8 素数出现率比；
x=10^12,π(10^12)=3760……；√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6； π(x)/x ≈ .0376079; (0.826451)——1e12与1e10素数出现率比；
x=10^14,π(10^14)=3204……；√x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7； π(x)/x ≈ .0320494; (0.852199)——1e14与1e12素数出现率比；
x=10^16,π(10^16)=2792……；√x/π(x) ≈3.58e-7 ; (1/√x)=1e-8； π(x)/x ≈ .0279238; (0.871274)——1e16与1e14素数出现率比；
x=10^18,π(10^18)=2473……；√x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9； π(x)/x ≈ .02473995;(0.885981)——1e18与1e16素数出现率比；
x=10^20,π(10^20)=2220……；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10；π(x)/x ≈ .0222082; (0.897665 ——1e20与1e18素数出现率比；
x=10^22,π(10^22)=2014……；√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；π(x)/x ≈ .0201467; (0.907174)——1e22与1e20素数出现率比；
从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.
2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。
3，随数 x=10^n 的n值的一步步增大，素数出现率的下降速率呈现越来越慢，10^(n+2)与10^n内的素数出现率之比逐渐趋近于1的趋势是很明显的，其必然会逐渐趋近于0.99、0.999、0.9999、……，其时素数出现率π(x)/x 的极限必将趋于一个不为0的常数。
由此可见：“x→∞时 π(x)/x →0” 的结论与教科书上对于无穷小量比较的法则呈现矛盾。
当然目前的计算机对于更大数内的素数的求出仍是比较困难之事，我们也不可能得到更大范围的素数数据。
但是，依据素数定理的理论素数发生率1/lnX ,我们仍然能够推测出更大范围内素数的情况。
素数定理已经证明，在x→∞时，(式2)的两边相等。
但是实际中我们不可能观察到 x→∞极限情况，而在实际验证中发现，随x→大的过程中，理论素数发生率1/lnx逐渐的逼近素数发生率π(x)/x。
因此我们可以从理论素数发生率1/lnx着手，来研究[x,2x]中的素数发生率问题。
我们把数x用指数形式表示，即 x=10^n ,会比较方便。
对理论素数发生率1/lnx，运用换底公式，则有
1/lnx=lge/lgx=lge/n ; (式3)
式中，e为自然常数。
于是2x内的素数发生率 1/ln（2x）有
1/ln(2x)=lge/lg(2x)=lge/(lg2+n),
由于lge=0.4342944819 ，lg2=0.301029996 为已知值，
我们通过计算x内与2x内的素数发生率的比值，可以估算出[x,2x]中的素数发生率。
在这个方面，yangchuanju 先生的观点与我是一致的，随X的不断增大，数2X的上、下半区的素数数量逐渐接近。他在计算素数数量方面比我行，也发了不少的数据，我就不再举例了。
根据理论素数发生率，有：
bi(x)=1/ln(2x)：1/lnx=lge/(lg2+lgx)：lge/lgx=lgx/(lg2+lgx)=n/(lg2 +n); (式4)
依据（式4)的计算：
x=10^8, 有 bi(x)=8/(0.301029996+8）=0.96373583；
x=10^10,有 bi(x)=10/(0.301029996+10）=0.970776709；
对应的x内素数发生率1/lnx≈0.043429448；[x,2x]中的素数发生率≈0.04089；
x=10^100,有 bi(x)=100/(0.301029996+100）=0.9969987；
x内的素数发生率1/lnx≈0.0043429448；[x,2x]中的素数发生率≈0.004316876；
x=10^1000,有 bi(x)=1000/(0.301029996+1000）=0.999699；
此时对应的素数发生率1/lnx≈0.00043429448;[x,2x]中的素数发生率≈0.000434033；
x=10^10000,有 bi(x)=10000/(0.301029996+10000）=0.9999699；此时对应的素数发生率1/lnx≈0.000043429448；
x=10^100000,有 bi(x)=100000/(0.301029996+100000）=0.99999699；
此时对应的素数发生率1/lnx≈0.0000043429448；
……
我们可以设定比值bi(x)达到5个9以上，或更多个9时素数的发生率~极限，此时的上下半区的素数发生率基本相同，但是无论任何素数发生率是不可能为0的，因为素数仍然在不断的增多。
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发表于 2022-7-4 09:31
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