求助于elim老师，图片中的列表图像你在软件中怎么画的

永远

elim 发表于 2022-12-6 01:04
研究一下这个转换：

这个变换有啥好处，请说明一下，它对求椭圆周长有啥用途

elim

永远 发表于 2023-3-13 01:12
这个变换有啥好处，请说明一下，它对求椭圆周长有啥用途

\(F(h)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}{n}h^2\) 这个幂级数什么都好，就是在\(h=1\)附近收敛极慢。
利用恒等式

可以把 F 表为 \(F(h)=\begin{cases}F(h),& 0\le h\le 1/\sqrt{2},\\ G(1-h^2),& 1/\sqrt{2}\le h\le 1.\end{cases}\)
其中函数\(G\)由所论恒等式的右边确定.

分别对 \(F|_{[0,2^{-1/2}]}, G|_{[0,2^{-1/2}]}\) 对作拟合，可以得到 [0,1] 上一致收敛的高进度拟合。

永远

elim 发表于 2023-3-14 02:12
\(F(h)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}{n}h^2\) 这个幂级数什么都好，就是在\(h=1\)附近收敛 ...

elim老师可否再向前写一下这个F(h)总表达式？

又或者怎么分别对这两个表达式作拟合的，拟合后，怎么知道所求F(h)是一致收敛且还是高精度拟合

补充要点：\[\displaystyle \begin{array}{l}
F\left( \lambda  \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{(_{\;n}^{1/2})}^2}{\lambda ^{2n}}}  = {}_2{F_1}( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2};1;{\lambda ^2}) = 1 + \frac{{{\lambda ^2}}}{{4 + \frac{{{\lambda ^2}}}{{ - 4 + \frac{{{\lambda ^2}}}{{\frac{4}{3} + \frac{{{\lambda ^2}}}{{ - 4 + \frac{{{\lambda ^2}}}{{\frac{{12}}{{11}} + \frac{{{\lambda ^2}}}{{\frac{{ - 484}}{{115}} + \frac{{{\lambda ^2}}}{{\frac{{15800}}{{160897}} +  \ddots }}}}}}}}}}}}}}\\
= 1 + \frac{{{\lambda ^2}}}{{4\left\{ {1 + \frac{1}{3}\left[ {\frac{{ - \frac{3}{{16}}{\lambda ^2}}}{{1 + \frac{{ - \frac{3}{{16}}{\lambda ^2}}}{{1 + \frac{{ - \frac{3}{{16}}{\lambda ^2}}}{{1 + \frac{{ - \frac{{11}}{{48}}{\lambda ^2}}}{{1 + \frac{{\frac{{ - 115}}{{528}}{\lambda ^2}}}{ \ddots }}}}}}}}}} \right]} \right\}}}
\end{array}\]

其中： \(\displaystyle  \lambda  \in \left[ {0,1} \right]\)

永远

elim 发表于 2023-3-14 02:12
\(F(h)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}{n}h^2\) 这个幂级数什么都好，就是在\(h=1\)附近收敛 ...

还在吗，可否看一下楼上

elim

我发现那个恒等式对我的a,b,c失效．看来需要插进一个欧拉变换．请查超几何函数的恒等式．至于你的那些问题，多花点时间你自己就可以想通的．我回答过你很多问题．现在回看，你自己也会承认是能搞懂的，而且我的思路是时的．

永远

elim 发表于 2023-3-15 10:49
我发现那个恒等式对我的a,b,c失效．看来需要插进一个欧拉变换．请查超几何函数的恒等式．至于你的那些问题 ...

貌似你说的行不通，你说的超几何函数恒等式是哪一个，怎么跟欧拉变换扯上了

elim

已知的恒等式及欧拉(超几何函数)变换可能都没有用，不过我的基本构想仍然可行. 幂级数在其收敛区间内可逐项求导.
故原则上是没有问题：将 \(_2F_1(-1/2,-1/2,1,h^2)\) 在 \(h=1\)处展开 \(\small F(h) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n (h-1)^n,\;G(t)=F(t+1)=\sum_{n=0}^\infty b_n t^n.\) 对后者作拟合.......

如果觉着我扯，就算我扯吧，呵呵

elim

按照今天计算机的计算能力，对椭圆周长公式的一切经典拟合都是不必要的，优化 \(\lambda =1\) 附近的计算或许还有点意义。

永远

elim 发表于 2023-3-15 12:23
按照今天计算机的计算能力，对椭圆周长公式的一切经典拟合都是不必要的，优化 \(\lambda =1\) 附近的计算或 ...

请问怎么个优化法，可否写一下

elim

永远 发表于 2023-3-14 21:25
请问怎么个优化法，可否写一下

见 177 楼。