【解读黑格尔】 运动：“在这个地点又不在这个地点”

门外汉

那请回归正题：解释一下“既在这里同时又不在这里”的逻辑合理性。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/04/17 09:57pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/04/16 10:20pm 发表的内容：
   如果把实数的“连续性”，理解为“在两个实数之间不可能有非实数存在”，
那么，在非标准分析中，这样的“连续性”显然是不成立的，因为按照非标准分析
的观点，在任何两个实数之间，都存在着无数多个不是实数的“超实数”。
   但是，这样理解的“连续性”，只是一些人自己“想当然”的理解，在数学中，
其实并没有这样的定义。
   在数学中，只有函数的连续性，映射的连续性，并没有什么实数的“连续性”。
   在标准数学中，与实数“连续性”意思相近的，应该说就是实数域的“完备性”，
它的严格定义是这样的：任何一个柯西收敛的实数点列，它的极限，仍然是一个实数。
   这个性质，在非标准分析中，仍然成立，在非标准分析中，任何一个柯西收敛
的实数点列，它的极限，也仍然是一个实数，不会是一个非实数。
   也就是说，在非标准分析中，按照原来的定义，实数域仍然是完备的。
   所以，非标准分析与原来标准定义的实数域的完备性（所谓实数的“连续性”）
并没有什么矛盾。

我查到在《数学辞海》第一卷497页有“实数系的连续性”这一词条：

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/04/17 09:56pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/04/17 07:47am 发表的内容：
如楼上 elimqiu 所说的，也可以把实数的“连续性”理解为，构造一个从实数到实数自身
的函数：f(x)=x ，x∈R ，在标准分析中，这个函数是连续的。
像这样的函数，按照非标准分析中的连续定义看来，同样也是连续　...

按照《数学辞海》“实数的连续性”词条的解释：“不能把R分成两个互不相交的非空的闭集”，这个说法和“在两个实数之间不可能有非实数存在”的说法完全等价。
所以，两位老师的解释暂时失败。
希望能看到更好的解释。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/04/17 03:15am 发表的内容：
即使作为子空间的R在 R* 有大量空隙， 也不等于 R 自身作为全空间有空隙。不同的空间结构，拓扑不能相提并论。
还是要把概念搞清楚。

如果说，我们能够把整数空间、有理数空间、无理数空间作为全空间而认为都没有空隙的话，上述说法就是对的。
否则就是错的。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/04/17 00:03pm 发表的内容： 当 β 是一个正无穷小量时，的确，对任何正整数（非无穷大的标准的正整数）n , 都必有 nβ<1 。但是，当 n 是一个无穷大整数时，就可以有 nβ>1 了。 不仅如此，对任何正整数 m ，总可以找到一个无穷大正整数 n ，使得 nβ>m 。 可见，非标准分析与我们直觉的经验，也没有太大的距离（只要我们思想上敢于 做一个大胆的“跳跃”，愿意接受“存在一个无穷大正整数”这一条就可以了）。

“nβ<1”这个不等式把无穷小量放得太大了吧？ 既然β是一个正无穷小量，那么，nβ也还是一个正无穷小量（n∈N），它仍然缩在0和正实数之间的那一块技校的“空地”上出不来，不会比任何一个纯小数大的。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/17 10:09pm 发表的内容：
如果说，我们能够把整数空间、有理数空间、无理数空间作为全空间而认为都没有空隙的话，上述说法就是对的。
否则就是错的。

什么对的错的？扯谈而已。拿戴德金分割来说话么。怎么如此不着边际？

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/04/17 10:15pm 发表的内容： “nβ<1”这个不等式把无穷小量放得太大了吧？ 既然β是一个正无穷小量，那么，nβ也还是一个正无穷小量（n∈N），它仍然缩在0和正实数之间的那一块技校的“空地”上出不来，不会比任何一个纯小数大的。

这些在一开始就说过了。没有什么新东西不是吗？ 非标准分析在这里就是和欧氏几何公理不合的。也没有我们经验世界需要的可操作性。在这些领域它很难插上手。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/04/17 10:15pm 发表的内容： “nβ<1”这个不等式把无穷小量放得太大了吧？ 既然β是一个正无穷小量，那么，nβ也还是一个正无穷小量（n∈N），它仍然缩在0和正实数之间的那一块技校的“空地”上出不来，不会比任何一个纯小数大的。

设 Ω 是一个无穷大正整数，β＝1/Ω 是一个正无穷小量，当 n∈N 是一个普通的自然数时， 的确，这时 nβ＝n/Ω 必定仍然是一个正无穷小量，所以这时总是有 nβ＝n/Ω<1 。 但是，如果允许 n∈N* 是一个超自然数，那么，我们就可以找到 n＝2Ω∈N* ，这时就会有 nβ＝n/Ω＝2Ω/Ω＝2>1 了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/04/17 09:55pm 发表的内容：
按照《数学辞海》“实数的连续性”词条的解释：“不能把R分成两个互不相交的非空的闭集”，这个说法和“在两个实数之间不可能有非实数存在”的说法完全等价。
所以，两位老师的解释暂时失败。
希望能看到更好的　...

“不能把 R 分成两个互不相交的非空的闭集”这个说法和“在两个实数之间不可能
有非实数存在”的说法并不等价。因为 R 指的是全体实数的集合，并不是全体超实数
的集合。在非标准分析中，如果只考虑全体实数的集合 R ，那么，R 确实不能分成两
个互不相交的非空的闭集，所以这个命题是成立的。但是，在非标准分析中，在两个
实数之间可以有非实数存在，命题“在两个实数之间不可能有非实数存在”并不成立。
可见，这两个命题是不等价的。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2011/04/18 00:14am 发表的内容：
“不能把 R 分成两个互不相交的非空的闭集”这个说法和“在两个实数之间不可能
有非实数存在”的说法并不等价。因为 R 指的是全体实数的集合，并不是全体超实数
的集合。在非标准分析中，如果只考虑全体实数的集 ...

其实前者通常是用来证明有空隙的： 下集有最大元，上集有最小元