[分享]概率怪论

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2011/06/24 07:57am 发表的内容：
是的！通过这个案例，我们发现康托尔关于一一对应的观点在遇到密度、随机、均匀这一类情况时，似乎遇到了严重的挑战。
也就是说，按照康托尔的观点，有限的不同长度的线段、不同大小的面积上的点都是“一样多”　...

康托尔集合论的“一样多”，是层次性质的，即哪一类【层次】
而概率的东西，是【定量】性质的多少。
不同的【讨论】范围

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/24 07:57am 发表的内容：
是的！通过这个案例，我们发现康托尔关于一一对应的观点在遇到密度、随机、均匀这一类情况时，似乎遇到了严重的挑战。
也就是说，按照康托尔的观点，有限的不同长度的线段、不同大小的面积上的点都是“一样多”　...

这是概念混乱。基数和测度是不同本质的东西。
在计算概率时，我们通常是作一个映射
f: D →Ω， 这里 Ω 是样本空间。 D 是参数空间。我们的统计方法是在 D 中随机地取得点集（子集 E），然后计算频率 |E ∩ f^(-1) (A)|/|E|. 但问题在于 f 往往不过是满射而不是单射， 并且 即便 E 在 D 中 分布均匀， f(E) 在 Ω 中未必有均匀的分布！这导致相应的随机模型的合法性面临质疑。
这个概率怪论是怎样挑战概率论本身以及哲学的？ 在某种意义上，就要看这些相异的随机模型是否都有合法性了。

wangyangkee

蠢货再不闹，俞家的荣耀要泡汤，，，要泡汤，，，

天茂

下面引用由天茂在 2011/06/24 07:40am 发表的内容：
既然如此，我们前面对圆内任取一点都是用“RAND()”语句来取横坐标和纵坐标，就都应该改成改为“2*RAND()-1”才对。
先把前面的错误都改过来再说。

将语句改正后通过验算，前面两个方案的结果仍然没变：
圆内任取一点为弦的中点（解法三），最后结果仍然=0.25；
圆内和圆上随机各取一点（解法四），最后结果仍然=0.609。
如下图所示：

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/23 09:36pm 发表的内容：
下面是对“圆内任取两点”的情形，推导和计算的结果：
P＝0.74683000…  

怎么试验，这个结果还是出不来，总是在0.696～0.699之间，请陆老师找一找看问题出在哪里？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/24 04:20pm 发表的内容：
怎么试验，这个结果还是出不来，总是在0.696～0.699之间，请陆老师找一找看问题出在哪里？

你在 IF 语句中，用的是“AND”，应该改为“OR”。
用“AND”表示必须 A,B 两点同时都在圆外，才排除这种情况。
其实，A,B 两点之中只要有一点在圆外，就应该排除，所以应该用“OR”语句。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/24 04:59pm 发表的内容：
你在 IF 语句中，用的是“AND”，应该改为“OR”。
用“AND”表示必须 A,B 两点同时都在圆外，才排除这种情况。
其实，A,B 两点之中只要有一点在圆外，就应该排除，所以应该用“OR”语句。

这样一改就对了。


这个可算“解法五”。

elimqiu

连 1-1 对应都不能满足的‘随机模型’是不值得考虑的。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/25 09:17pm 第 4 次编辑]



小结：
通过大家的讨论，对于Bertrand 怪论（在圆上任做一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长的概率P）通过严谨的计算和大量随机数据的验证，共有5种不同的解法：
解法一
其思路是：假设圆周上的点是均匀的。
计算方法：将弦的一个端点看作是单位圆周上的定点，弦的另一个端点可以在单位圆周上任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/3＝0.333……。
验证方法：在圆周上任取两点作为弦的两个端点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.333……。
解法二
其思路是：假设半径上的点是均匀的。
计算方法：将弦的中点所在的半径看作是固定的，弦的中点可以在这条半径上任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/2＝0.5 。
验证方法：在圆内任意半径上任取一点作为弦的中点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.5 。
解法三
其思路是：假设圆内的点是均匀的。
计算方法：弦的中点可以在单位圆的圆面中任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/4＝0.25 。
验证方法：在圆内任取一点作为弦的中点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.25 。
解法四
其思路是：假设圆内和圆上（或圆心角）的点都是均匀的。
计算方法一：先在圆内任意取一点A，再在0°～90°中任取一个角度θ，过A点作一根与过A点的半径夹角为θ的弦。这样计算的结果是：Ｐ＝1/3+√3/2π＝0.60899778…… .
计算方法二：在圆周上任取一点，再在圆面中任意取一点，通过两点作弦，这样计算的结果也是：Ｐ＝1/3+√3/2π＝0.60899778…… .
验证方法：在圆内和圆上任意各取一点来决定一条弦，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.60899778…… 。
解法五
其思路是：假设圆内的点都是均匀的。
计算方法：在圆面中任取两点，作一条通过两点的弦，这样计算的结果是：Ｐ＝1/3+3√3/4π＝0.74683000…… 。
验证方法：在圆内任取两点来决定一条弦，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.74683000…… 。
不知道还有没有解法六、解法七、解法八……？
令人感到困惑的是：解法三和解法五的思路都是假设圆内的点是均匀的，但这个点却取至于弦的不同部位，因此也就导致了结果的不同。其根源到底是什么？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/25 00:49pm 发表的内容：
连 1-1 对应都不能满足的‘随机模型’是不值得考虑的。

您这里指的是解法四还是解法五？