[原创]k生素数群的数量公式

yangchuanju

光顾着改写公式哪，老师的点评刚刚看了看，还没有细细琢磨，老师最好能给出二生素数的两个对数积分的具体展开式！我也想亲自算几个数字。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-5-19 10:19
K生素数数量公式探讨
网页《Prime Constellation》（网址：https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstella ...

所庆幸的是，他们还徘徊在哈代-李的年代，没有新进展，否则数论上的皇冠又被他国摘走了。

白新岭

网页随后给出积分式的另一套计算公式：
\(∫_2^x\)\(d_x\over {ln}^2 x\)=Li(x)+\(2\over{ln2}\)-\(x\over{lnx}\)
\(∫_2^x\)\(d_x\over {ln}^3 x\)=\(1\over 2\)Li(x)-\(x\over2{{ln}^2 x}\)-\(x\over2{lnx}\)+\(1\over{ln2}\)+\(1\over{{ln}^2}2\)
见好就收吧。

白新岭

\(∫_2^x\)\(d_x\over {ln}^4 x\)=[\(Li(x)\over 6\)-\(x\over3{{ln}^3 x}\)-\(x\over6{{ln}^2 x}\)-\(x\over6{lnx}\)+\(2\over3{{ln}^3}2\)+\(1\over3{{ln}^2}2\)+\(1\over3{ln2}\)]
就这么着吧！

白新岭

白新岭 发表于 2021-5-19 16:49
\(∫_2^x\)\(d_x\over {ln}^4 x\)=[\(Li(x)\over 6\)-\(x\over3{{ln}^3 x}\)-\(x\over6{{ln}^2 x}\)-\(x\ov ...

学着用公式编译器还是感觉良好的！

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-5-19 16:50
学着用公式编译器还是感觉良好的！

K生素数数量公式探讨（二）
查阅《我的文档》中的相关文档，得知咱俩先前探讨过一次类似的问题，我写过一点文字，不过早就忘却了！

试推导孪生素数对数公式  2021-01-15
英文网页《Prime Constellation》给出的孪生素数对数公式是：
Px (p, p+2) ≈2*∏p*(p-2)/(p-1)^2 * ∫dx’/(ln x’)^2             (1)
          =1.320323632…∫dx’/(ln x’)^2                          (2)
【附注】连乘号中的“p≥3”，积分号中的下界是2，上界是x。

已经查明，这里的对数积分的对数指数不是-1，而是-2，且x’与x不是同一个变量，x’是x的一次导数。
下面的对数积分是正对对数指数等于-1时的积分。

《logarithmic integral》网页给出：
Li(x)=li(x)-li(2)，其中li(2)=1.0451637801174…，
li(x)表达式是li(x)=γ+ln ln x+Σ(ln x)^k/(k!*k)，
γ=0.577215664901532860606512090082402431042…，欧拉常数。
和号下界k=1，上界∞；上述Li(x)和li(x)不是同一个函数。

将li(x)表达式中的和式展开
Σ(ln x)^k/(k!*k)=(ln x)^1/(1*1)+(ln x)^2/(2*2)+(ln x)^3/(6*3)+(ln x)^4/(24*4)+(ln x)^5/(120*5)+……
Σ(ln x)^k/(k!*k)=ln x+(ln x)^2/4+(ln x)^3/18+(ln x)^4/96+(ln x)^5/600+……
求出和式后再求li(x)=γ+ln ln x+Σ(ln x)^k/(k!*k)和Li(x)=li(x)-li(2)。
以上积分式可用于计算素数个数π，也可用于计算孪生素数个数。
若计算孪生素数个数，则先求出Li(x)后再利用公式∫1/(ln x)^2*dx=Li(x)+2/ln(2)-x/ln(x)求算，条件是项数必须足够多。

白新岭老师在计算孪生素数及三生、四生素数时采用的分部积分法给定公式是：
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n+k-2)!/(k-1)! / (LN(N))^(n+k-1)]
式中大写“N”是范围值，小写“n”是项数变量，从1到无穷大。
…………

与白新岭积分式对比和统一
本人所推导公式是∫(ln x)^(-4)*dx=x*Σk!/(ln x)^(-n+k-1)
白新岭所给公式是∫(UV)dx= N*[∑(n+k-2)!/(k-1)! / (LN(N))^(n+k-1)]
两式中N=x，两个n相差一个负号，是一样的。
白新岭公式中的
n=2时(n+k-2)!/(k-1)!=k!/(k-1)!=k；
n=3时(n+k-2)!/(k-1)!=(k+1)!/(k-1)!=k*(k+1)；
n=4时(n+k-2)!/(k-1)!=(k+2)!/(k-1)!=k*(k+1)*(k+2)；……

经用excel实际计算，两法表达式不一样，起点不一样，但最终计算结果基本相同。

原文中的文字错误已更正，中部大段推理略去。
白老师的公式究竟如何用，学生至今仍是一知半解；
对于网页上给出的公式，也是糊里糊涂！
有事要出门了，再见！

白新岭

Li(x)=γ+lnlnx+\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞ \)\((lnx)^k\over{k!k}\)
γ为欧拉常数，值为0.5772156多点

白新岭

白新岭

1877#是我编辑的。1878#是复制图片地址加载图片发送的。效果一看就明白。

白新岭

\(∫_1^N\)\(d_N\over{ln}^k(N)\)=\(\displaystyle\sum_{n=1}^∞\)\({(k+n-2)!*N}\over {(k-1)!{ln}^{k+n-1}(N)}\)
在把系数加上，就完美了。