[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

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这里的回复量大部分功劳是yangchuanju先生的，浏览量的功劳也不可小视。
晚安！

白新岭

where

这是从网站上复制过来的，大概意思是求n^2+1型的素数数量

白新岭

白新岭 发表于 2021-5-20 09:56
where

这是从网站上复制过来的，大概意思是求n^2+1型的素数数量

我用程序计算了前100万个素数时，C=1.372804421976394（现在在继续扩大范围，到1000万个素数）

白新岭

实例1+1=2,4+1=5,16+1=17,36+1=37,100+1=101，....这些都是n^2+1型素数。用公式计算是3个，出入比较大。计算到1000万个素数时，C=1.37281072613626（没有变小，相反却变大了）。

yangchuanju

“白新岭的点评：这些公式还是停留在最密k生素数上面。没有进一步延伸，或许它们还是哈代-李那个年代的产物。  发表于 2021-5-20 06:18”

白老师研究的课题有许多已超出目前互联网上的涉及到的内容，预祝老师取定突破！
学生跟不上老师的步伐，甘拜下风！学生对于最基本的哈李常数的由来仍是一知半解，目前倒是想把它弄清楚一点。

另一个问题是学生不愿步老师后尘，在各生素数的数量上花费较多精力；学生倒希望找到一些k生素数的实例（OEIS网站给出了不大于17生最密素数的大量的实例），但学生连比较小的8生素数也无法亲自求出几个出来！（验证已知的不算）

白新岭

他们的网站的窗口与本网站的可视窗口区别不大。不过我仅仅看见了5#，没有翻页键。可能是新发表帖子，或者不是热帖，没有更多的人回复。

白新岭

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晚安！

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-5-20 11:35
他们的网站的窗口与本网站的可视窗口区别不大。不过我仅仅看见了5#，没有翻页键。可能是新发表帖子，或者不 ...

昨夜，又从网上找到一个大数据表，表中给出跨距2-210、2-45生（包括相邻与不相邻的）素数群（串）的数量计算公式系数。
用表中系数与白老师本博贴中的6楼给定系数进行了比对，其中有相同的，也有不相同的；白老师的系数精度要比网载数据表低许多。
数据表中的系数是针对网页《Prime Constellation》（网址：https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html）中的积分式的，现复制前部若干行，粘贴于此：
T1——各种跨度k生素数个数的哈李常数值表
表中：g—跨距；k—生数；T（g，k）—系数，含义和用法不详；A（g，k）—系数，哈李常数
  g  k  T(g,k)    A(g,k)
--- -- -----------------------------------------------
  2  2    1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
--- -- -----------------------------------------------
  4  2    1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
--- -- -----------------------------------------------
  6  2    2 0.2640647263387478295711248440058223113730e+01
  6  3    2 0.5716497191438440864860269321452701756079e+01
--- -- -----------------------------------------------
  8  2    1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
  8  3    2 0.5716497191438440864860269321452701756079e+01
  8  4    1 0.4151180863237415757165285561959537515799e+01
--- -- -----------------------------------------------
10  2    4 0.1760431508924985530474165626705482075820e+01
10  3    6 0.8574745787157661297290403982179052634118e+01
10  4    2 0.8302361726474831514330571123919075031599e+01
--- -- -----------------------------------------------
12  2    6 0.2640647263387478295711248440058223113730e+01
12  3   14 0.2000774017003454302701094262508445614628e+02
12  4   10 0.4151180863237415757165285561959537515799e+02
12  5    2 0.2026358989999215968797685436973533783545e+02
--- -- -----------------------------------------------
14  2   18 0.1584388358032486977426749064034933868238e+01
14  3   40 0.1429124297859610216215067330363175439020e+02
14  4   28 0.3874435472354921373354266524495568348079e+02
14  5    6 0.3039538484998823953196528155460300675318e+02
--- -- -----------------------------------------------
16  2   15 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
16  3   40 0.1429124297859610216215067330363175439020e+02
16  4   36 0.4981417035884898908598342674351445018959e+02
16  5   12 0.6079076969997647906393056310920601350636e+02
16  6    1 0.1729861231158488860612210771577368396574e+02
--- -- -----------------------------------------------
18  2   30 0.2640647263387478295711248440058223113730e+01
18  3   92 0.3286985885077103497294654859835303509745e+02
18  4  100 0.1383726954412471919055095187319845838600e+03
18  5   44 0.2228994888999137565677453980670887161900e+03
18  6    6 0.1037916738695093316367326462946421037944e+03
--- -- -----------------------------------------------
20  2   20 0.1760431508924985530474165626705482075820e+01
20  3   78 0.2786792380826239921619381294208192106088e+02
20  4  116 0.1605123267118467426103910417291021172776e+03
20  5   80 0.4052717979998431937595370873947067567090e+03
20  6   24 0.4151666954780373265469305851785684151777e+03
20  7    2 0.1079438966002593047921460582123444779957e+03

比对1：
网：2  2    1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
白：Pi2（n)→→1.32032372118072 →→（P,P+2)
数值相同，精度不够。

网：6  3    2 0.5716497191438440864860269321452701756079e+01
白：Pi3（n)→→2.8582491768851600 →→（P,P+2,P+6)
Pi3（n)→→2.8582491768851600 →→（P,P+4,P+6)
好像差5倍。

网：8  4    1 0.4151180863237415757165285561959537515799e+01
白：Pi4（n)→→4.1511825513462700 →→（P,P+2,P+6,P+8)
数值相同，精度不够。

网：12  5    2 0.2026358989999215968797685436973533783545e+02
白：Pi5（n)→→10.1318018169296000 →→（P,P+2,P+6,P+8,P+12)
Pi5（n)→→10.1318018169296000 →→（P,P+4,P+6,P+10,P+12)
好像差5倍。

网：16  6    1 0.1729861231158488860612210771577368396574e+02
白：Pi6（n)→→17.2986298980835000 →→（P,P+4,P+6,P+10,P+12,P+16)

网：20  7    2 0.1079438966002593047921460582123444779957e+03
白：Pi7（n)→→53.9720251184226000 →→（P,P+2,P+8,P+12,P+14,P+18,P+20)
Pi7（n)→→53.9720251184226000 →→（P,P+2,P+6,P+8,P+12,P+18,P+20)
好像差2倍。

比对2：
网：10  3   6 0.8574745787157661297290403982179052634118e+01
10  4   2 0.8302361726474831514330571123919075031599e+01
跨距10的3生有（0,4,10）和（0,6,10）二种，对称，系数相等，网给一个系数，无可非议；
跨距10的4生只有（0,4,6,10）一种，网给一个系数，无可非议！

网：12  3  14 0.2000774017003454302701094262508445614628e+02
12  4  10 0.4151180863237415757165285561959537515799e+02
跨度12的三生素数5种3类，2-10、4-8、6-6、8-4、10-2，数量不应相等，这里是谁的？
跨度12的四生素数6种3类，246、264、426、462、624、642，数量不应相等，这里是谁的？

网：14  3  40 0.1429124297859610216215067330363175439020e+02
14  4  28 0.3874435472354921373354266524495568348079e+02
跨度14的三生素数4种2类，2-12、6-8、8-6、12-2，数量不应相等，这里是谁的？
跨度14的四生素数6种4类，248、266、2102、662、842、626，数量不应相等，这里是谁的？

请白老师认真研究一下网上的这个大表，以便提高您的计算精度，并可计算跨距2-210、2-45生（包括相邻与不相邻的）素数群（串）的数量。
大表将发送到老师的邮箱，请查收！

yangchuanju

各生素数的数量关系
素数：自然数N内素数个数约等于N/ln(N)，即素数定理。
孪生素数：N内孪生素数个数约等于1.32*N/(ln(N)^2)，实际上公式复杂的很。
表兄弟素数：数量约等于孪生素数的数量。

跨距6的共有二生、三生素数三种，其中跨距6的二生相邻素数（3）总数量约等于孪生素数总数量的2倍，间距026的（1）和间距046的（2）数量大致相等，即（1）≈（2）。
设孪生素数总数量是1m，则（3）总数量是2m，（1）≈（2）≈2.86*N/(ln(N)^3)，三种总数量加起来即可。
按1760楼  白新岭  二生相邻素数（P，P+6）的数量公式：
2*1.32032372118072*∫ 1/(ln(N)^2)*dn-2*2.85824917688516*∫ 1/(ln(N)^3)*dn
不就成了（3）≈2m-（1）-（2），则与（3）≈2m是相矛盾的。
认定（3）≈2m是按网页《Prime Constellation》中的公式（5）和（6）得出的，看来网页中的公式中的数量是（1）、（2）、（3）的总数量。
另据统计，前5万个素数中，孪生素数总数5420个；间距06的8885个，026+046的1982个，总数10867个，约为孪生素数总数的2倍；按网页中给定公式（5）和（6）计算所得应该不只是间距6的相邻二生素数（3）的个数！

跨距8的间距0268型四生素数网页给出了计算公式，但只给定一种，应该是0268型四生素数的计算公式。
据统计，前5万个素数中，间距8的二生素数3643个，三生素数1720个，四生素数118个，总数5481个；与孪生素数总数5420个和表兄弟素数总数5412个相当；间距8的素数、间距4的素数、间距2的素数大致相等均应指各生可能的素数，不是某一生素数的数量。

白新岭

白新岭 发表于 2011-11-30 10:41
p+n中的n→→相邻间隔→→判断式→→p+n中的n→→相邻间隔→→判断式
0→→→→0→→→→48→→→→0→→→ ...

18#第一组素数式（13生素数）的系数=25807.98066188235，参加运算的素数1000万个，最后没有处理（即进行放缩，它以后素数对系数的影响）。