合成方法论群论的兄弟篇

白新岭

数论开篇
《数论开篇》是2012年11月出版的图书，作者是陆洪文。
内容简介

陆洪文、田廷彦编著的《数论开篇》为丛书中的第一部，涵盖了初等数论的大部分内容，包括整除、同余、数论函数、二次剩余和原根等，此外也涉及有限域的基本知识。本书内容精炼扼要，习题丰富(不少比较新颖或具有一定难度)，另有5个附录供读者进一步研究。

《数论开篇》适合大学理科师生、参加奥数比赛的高中生、教练员以及广大数学爱好者参考。

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满射
如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。
概述

一个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。
定义
形式化的定义如下:

若函数为满射，则对任意b，存在a满足f(a) = b。

将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类，我们可以得到以该等价类组成的集合(原定义域的商集)为定义域的一个双射。

换句话说，满射，意思就在满射里，X经过F到Y中时，Y正好都在X中有原像，Y中没有富余或者多出来的像。

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二元运算
二元运算
设 X 是一个集合，且 f:X 是一个从到 X 的映射。于是称 f 为集合 X 中的 n 元运算。称整数 n 为运算的阶。对于 n=2 来说，称 f:XXX 为二元运算。
二元运算
二元运算

折叠编辑本段闭包性
如果对于给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而该象点又是同一个集合中的成员，则称给定集合在该运算之下是封闭的。这种性质，通常称为闭包性。

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英文对照
binary operation; dyadic operation; binary composition;

折叠编辑本段工具书解释
是由两个元素形成第三个元素的一种规律。例如整数的加法乘除;更一般地,由两个集合形成第三个集合的产生方法,或构成规则,称为二元运算
二元运算符
二元运算符应写在执行运算的子表达式对之间。

二元运算符比一元运算符的优先级低。 二元运算符在本节中按优先顺序出现。

该优先顺序与 C 语言中的顺序并不一致。

乘法运算符　　

乘法运算符在所有二元运算符中优先级最高。 它们只作用于数字表达式。

布尔运算符

这些运算符的优先级最低。 它们对操作数执行标准的逻辑运算。

在所有三种情况下，A 和 B 必须为取值为 或 的表达式

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集合及二元关系
集合及关系
关系的运算
AxB：笛卡尔乘积。A中的元素作为第一元素，B中的元素作为第二元素，构成所有的序偶构成的集合作为结果。
domR：R的定义域。R中所有序偶第一元素构成的集合
ranR：R的值域。R中所有序偶第二元素构成的集合
fldR：R的域。domR与ranR的并集
R^-1：R的逆关系/R的逆。每个序偶第一元素和第二元素交换
F&#9898;G：G对F的右合成。第一元素x来自F，第二元素y来自G，如果F中存在<x，t>，G中存在<t，y>，则结果为所有<x，y>组成的集合。（F到G的传递）
IA：基于A的恒等关系。即所有元素既作为第一元素也作为第二元素<x，x>所组成的集合
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关系的性质
自反：对于A中每个元素x，R中都有<x，x>
如果有一个元素不存在，就不满足自反
反自反：对于A中每个元素x，R中都没有<x，x>
如果有一个元素存在，则不满足反自反
综上，如果A中有元素存在，但并不是所有元素都存在，则既不是自反，也不是反自反
对称：对R中所有的<x，y>，同时也存在<y，x>
反对称：对R中所有的<x，y>，要么不存在<y，x>，若存在，则x=y
综上，如果存在<x，y>,<y，x>，但并不是所有元素都存在，则既不是对称也不是反对称
可传递：对R中所有的<x，y>，如果存在<y，z>，那么就有<x，z>
不可传递：R中存在<x，y>，也存在<y，z>，但是没有<x，z>
综上，如果关系R不是可传递的，那就是不可传递的。当且仅当所有的<x，y>、<y，z>都有<x，z>，才是可传递的。即不存在和不全存在都为不可传递。
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关系的闭包运算
r&#174;：自反闭包。R本身并上恒等关系IA。构造基于R的最小的自反关系。
s&#174;：对称闭包。R本身并上R逆。构造基于R的最小的对称关系。
t&#174;：传递闭包。公式上等于R1并上R2并上R^3…直到趋于无穷。通常会陷入循环或一开始就等于本身。若陷入循环则结果为第一段循环。
可用wallshall算法来求得
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特殊关系
覆盖：若集合A由若干集合构成，且A中的集合都是S集合的子集，且所有集合的并集结果为S，称A是S的覆盖。
划分：当S的覆盖A中任意两个的子集的交集都为空，则称A为S的划分。
综上，覆盖和划分都不唯一。覆盖会存在交集，而划分是正好的，不存在交集。
等价关系：关系R同时满足自反、对称、可传递
这里引入模k关系：a，b两个数满足a-b=mk，则ab满足模k关系，其中m为任意整数，k是我们提前设的。模k关系为等价关系
等价类：等价关系下一个划分组成的集合
商集：所有等价类作为元素的集合
不难看出，商集中的集合（所有等价类）构成了此关系的划分。等价关系->等价类->商集->划分。
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相容关系：关系R同时满足自反、对称
最大相容类：满足相容的集合有一个子集，这个子集中的任何一个元素与子集其他所有元素能构成相容关系，但是和这个子集外的任何元素没有相容关系，则这个子集称为最大相容类
判断相容类或者最大相容类的时候，通过关系图能很好进行判断
两两相连的就是相容类，再加一个元素就不满足两两相连的相容类就是最大相容类
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次序关系
偏序关系：R是自反的、反对称的、可传递的，称R是A中的偏序关系。用≤表示偏序关系
拟序关系：R是反自反的、可传递的，称R是A中的拟序关系。用＜表示拟序关系
全序关系：R是偏序关系，对于A中每一个x，y，都有x小于等于y或y小于等于x。即满足线性关系（一条线），哈斯图中一层只有一个元素
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