连乘积公式计算哥猜数误差分析

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-7-4 03:43
愚公老师几次要求别人找一找160楼中的错误，现冒昧找一找：

愚公在160楼帖子中部的一段话：

愚公在160楼帖子最后一句话（结论）：
显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。

如果这里的π是连乘号，则π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1不错，但比值等于什么？——极限判断为不等于0的常数C。
结论“两者是同阶无穷小量”，虽正确，但无实际意义：——
若α(x)与β(x)是同阶无穷小，则lim α(x)／β(x)= c ≠0 ；即π（1-1/p）→0 不成立 。
当p取至769时，π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]=π[(p-1)/p]=(2.070E-321)/(1.2327E-320)=0.1679……
而当p取至3时连乘积比值为0.3333/0.5=0.6666；取至5时连乘积比值为0.0666/0.125=0.5333;
π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]=π[(p-1)/p]只能表示π[(p-1)/p]逐渐由0.6666，0.5333，……降到0.1679；
随着p的继续增大，π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]=π[(p-1)/p]必将逐渐减少；
当p趋近于无穷大时，π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]=π[(p-1)/p]必将趋近于0。
——违反无穷小量比值的判断法则
在这里，连乘积π[(p-1)/p]的数理意义就是自然数p^2以内素数的发生率（几率）；
当p趋近于无穷大时，自然数p^2以内的素数发生率（几率）趋近于0。违反无穷小量的阶的理论，比值的判断极限基础理论，运算法则。
愚公老师的疑虑是不是彻底解开了！——错误的论调重复100遍有用吗？你以为念的是是紧箍咒啊！

素数连乘式，可以看作分子的连乘积除以分母的连乘式，就是分母的连乘式除以分子倒数的连乘式，也就是两个无穷小量的比较了。
在计算X内的素数数量时，计算偶数M的可分成的素数对的数量的计算时，均可使用连乘式来进行计算。

yangchuanju

10万内素数个数和几率（计算值）
自然数X        X内素数计算值        10万内素数计算值        10万内素数几率        10万内实际素数
10        4         ——        ——        ——
100        22         ——        ——        ——
1000        145         ——        ——        ——
10000        1086         ——        ——        ——
100000        8686         8686         0.0869         9592
1000000        72382         6738         0.0674         7224
10000000        620421         5821         0.0582         6134
100000000        5428681         5134         0.0513         5454
1000000000        48254942         4593         0.0459         4832
10000000000        434294482         4154         0.0415        
1E+11        3948131654         3792         0.0379        
1E+12        36191206825         3488         0.0349        
1E+13        334072678387         3229         0.0323        
1E+14        3102103442166         3006         0.0301        
1E+15        28952965460217         2811         0.0281        
1E+16        271434051189532         2641         0.0264        
1E+17        2554673422960300         2490         0.0249        
1E+18        24127471216847300         2352         0.0235        
1E+19        228576043106975000         2208         0.0221        
1E+20        2171472409516260000         2048         0.0205        

相等区间（10万内）素数个数和几率迅速下降，还不能说明当自然数X趋近于无穷大时，素数发生率（几率）趋近于无穷小即0吗？

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-7-4 11:43
愚公老师几次要求别人找一找160楼中的错误，现冒昧找一找：

愚公在160楼帖子中部的一段话：

愚公688点评：

若素数发生率的π你不理解，那就不要谈论了；“当p趋近于无穷大时，π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]=π[(p-1)/p]必将趋近于0。”——你不愿按照极限的阶的高低来进行判断极限，那也不要谈了。真是对牛弹琴啊！  发表于 2022-7-4 14:00

若π是连乘号，π[1/(p-1)]和π[1/p]分别表示素数数列2,3,5……，p各自减1的倒数连乘积；2,3,5……p倒数连乘积；他俩在p趋近于无穷大时都是趋近于0的； 但必须经过一定的数学证明——系统设定小于某值为0，  发表于 2022-7-4 13:55

是你对我弹琴，还是我对你弹琴？不要使劲往牛角里钻！

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-4 14:41
愚公在160楼帖子最后一句话（结论）：
显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1 ...

(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
同阶无穷小量能说明什么？

∏(p-1)/p数理意义明确——素数几率是也！
请问π[1/(p)]和π[1/(p-1)]的数理意义是什么？
请给定不同的p，算一算这些连乘积的比值如何变化！

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-4 14:41
愚公在160楼帖子最后一句话（结论）：
显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1 ...

若α(x)与β(x)是同阶无穷小，则lim α(x)／β(x)= c ≠0 ；即π（1-1/p）→0 不成立 。

理论依据是什么？

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-7-4 07:16
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
显 ...

无穷小量的比较是教科书的内容，你如果有疑问，应该去问教科书的编者，问你的老师。
虽然我的教科书的版本比较早，但是现有的教科书也有类似的表述，百度上面也有无穷小量的比较的内容。
我只使用教科书上面的内容，合则用，不合则弃。

至于”若α(x)与β(x)是同阶无穷小，则lim α(x)／β(x)= c ≠0 ；

理论依据是什么？“—— 我不是教授，没有答疑的能力，也没有答疑的义务。

同阶的无穷小量的比值是不为0的常数C，你改成不为1的常数C，叫我怎么回答？

yangchuanju

如果∏(p1-1)/p1=c1；
∏(p2-1)/p2=c2, p2>p1, c2<c1;
∏(p3-1)/p3=c3, p3>p2, c3<c2;
……
∏(pt-1)/pt=ct, pt>……>p3>p2>p1,  ct<……<c3<c2<c1；
能不能得到当p趋近于无穷大时∏(p-1)/p趋近于无穷小的结论？

无穷小可以认为它无限地趋近于0，但它不等于0；
由于这个无穷小已无限地接近于0，亦可粗略地说它等于0。

同阶无穷小的比值等于某个不等于1的变数c，没有排除比值c不能趋近于0呀！

yangchuanju

复录166楼帖子

10^n以内约有10^n/ln(10^n)=10^n/[n*ln(10)]=10^n/2.303n个素数，素数几率约等于1/ln(10^n)=1/2.303n；
对素数个数取常用对数得素数个数的指数是n-lg(2.303n)，底数是10，略去不写。
自然数10^n        素数个数指数        素数几率
指数n        n-lg(2.303n)        1/2.303n
1        0.637706062        0.43421624
10        8.637706062        0.043421624
100        97.63770606        0.004342162
1000        996.6377061        0.000434216
10000        9995.637706        4.34216E-05
100000        99994.63771        4.34216E-06
1000000        999993.6377        4.34216E-07
10000000        9999992.638        4.34216E-08
100000000        99999991.64        4.34216E-09
1000000000        999999990.6        4.34216E-10
10000000000        9999999990        4.34216E-11
……………………………………………
1E+295        1E+295        4.3422E-296
1E+296        1E+296        4.3422E-297
1E+297        1E+297        4.3422E-298
1E+298        1E+298        4.3422E-299
1E+299        1E+299        4.3422E-300
1E+300        1E+300        4.3422E-301
lg(2.303*10^300)=        300.3622939      
当自然数10^n的指数是10^300时，素数个数的指数是10^300-300.3623(≈10^300)，素数个数约等于10^(10^300-300.3623)；
素数几率是4.3422*10^(-301)；尽管它趋近于0的速度很慢，但随着自然数X的增大最终目的地还是能够到达的。
自然数10^n的指数每增大10倍（一个数量级），素数个数的指数约增大10倍（一个数量级），素数几率约减少10倍（一个数量级）。

  4.3422E-299，  4.3422E-300，  4.3422E-301，……可不可以认为是无穷小？
4.3422E-3000，  4.3422E-30000，  4.3422E-300000，……可不可以认为是无穷小？

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-7-4 11:43
愚公老师几次要求别人找一找160楼中的错误，现冒昧找一找：

愚公在160楼帖子中部的一段话：

愚公老师的计算系统仅能处理至p=789，在789#平方以内的素数几率约为0.1679，p再大计算系统就做0/0处理了。
我采用其它方法计算出10^(10^300)以内素数几率约为4.3*10^(-301)，比你的0.1679小的多了。

大傻8888888

重生888@ 发表于 2022-7-4 14:04
偶数10000002        10000004       10000006     10000008        10000010     10000012.........
10 ...

      很容易计算，根据天山草先生的数据10000000我的公式得出的值为50726，假如10000002，10000008只是3的倍数（当然不排除它们有别的小于它们根号的奇素数p，再乘以［(p-1)/(p-2)］即可），则这两个偶数按我的公式，10000002和10000008的哥猜对数为101452。同理别的10000004       10000006     10000010 10000012.........10000030    用 小于它们根号的奇素数p，再乘以［(p-1)/(p-2)］即可。说实话我对于类似的计算兴趣不大，因为我不会用电脑软件进行这样的计算，用手算又太浪费时间，即使算出结果误差也不尽人意，只有偶数比较大才能使计算值与实际值之比趋近1，天山草先生计算到40亿亿，计算值与实际值之比才0.94930，所以我欢迎有能力的网友把我的公式计算超过40亿亿以上。虽然我不善计算，但是我可以从理论上得出一个公式，请这个论坛上有计算特长的网友加以认证，所以我在这里再次对天山草先生的数据表示感谢，也感谢yangchuanju先生提供了不少宝贵的数据。