[讨论] 这是一个集合悖论吗？？？

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/06/04 02:53pm 发表的内容：
有证明：就是我一楼的每一个自然数到每一个纯小数的一一对应，个数相等，因此证明（0,1）可数。 承认不承认随便。
在这里认识到{1，2，3，……}的有限性与无限性就够了，这符合认识世界的基本法则。
已多次指出　...

承认这些是【APB逻辑】和【APB对应】，跟自然数关系不大。
有兴趣知道什么人和您有一样的数学见解。

门外汉

我对这个问题感兴趣，想请elimpiu老师来谈一下看法：
∞+1有什么意义？
我们知道，∞不是自然数，一个不是自然数的东西与一个自然数相加，有何意义？

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/06/04 09:22pm 第 1 次编辑]

是的：“承认这些是【APB逻辑】和【APB对应】，……”，但是跟证明（0,1）可数关系很大。
在这论坛上和互联网上只能找到极少数人与我的见解相同【即认为（0,1）可数】；但证法不同。康托尔的那个“对角线法”证明（0,1）不可数有错误；错在先把不能排成一排的纯小数拍成了一排，无论是谁，只要把纯小数排成一排就一定会把任意二个不同纯小数之间的无穷多个纯小数漏掉，从而被找到反例。用反证法证明时，假设（0,1）可数并非必须将其元素按照1,2,3,4，……，的顺序进行排列，关键是是否能与 1,2,3,4，……，一一对应。

elimqiu

运算的意义首先要求参加运算的对象有明确的意义。自然数系的运算意义可以参见以下讨论的主贴：数系构造的逻辑历程
从自然数系 N 本身来看，∞什么都不是。APB 认为 ∞ 可以定义为 1+1+1+1+1+…+1… 。但这是很天真的。因为后者已经用到了无穷。换句话说，单凭后继运算是不会有‘无穷和’这个概念的。必须先有无穷的概念才能有无穷和，无穷后继的概念。而这些都不是皮亚诺公理所提供的。
但是∞可以作为一个对自然数系扩充的系统中的元素：
∞ ∈ E = N ∪{∞}
这阶段 ∞ 还只是一个符号，没有具体量值的界定。
有了这个集合的扩充，我们进一步可以扩充序关系： n < ∞ 对每个 n ∈ N 成立，这样 E 就是一个序集了。这个扩充是含 ∞ 的最小扩充。我们称 ∞ 为无穷大，在这个序集中，比任何自然数都大的东西只有一个，就是 ∞ 本身。
现在我们定义 ∞ ± n =  ∞ (n ∈ N). 这是因为运算的保序性要求 ∞ ± n 比任何自然数都大。注意加法的这一扩充使得 ∞ - ∞ 失去了意义（无法定义无穷的减法）。
这样一来 ∞+1 当然就有了意义：等于 ∞。 但是必须注意， 这样的数系 E 是不满足皮亚诺公理的：∞ 不是任何自然数的后继，所以不是自然数。
我们当然可以考虑其它 N 的扩充，例如非标准分析对N的扩充。但是有一件事情不变，皮亚诺公理在含有无穷大的‘数系’中不会各条都成立。这件事情的最简单的表达是： 没有无穷大自然数。

门外汉

罗素在《数理哲学导论》中举了一个例子（具体的文字忘记了，大概是这个意思）：假设世界的总数目是9（即9是最大的自然数），则9的后继（10）便是一个空集，即有9＝10，也有10＝11，也有9＝11……，在这里，皮亚诺公理便失效了。
我认为∞+1＝∞便类似于这种“虚无”。

门外汉

您在184楼中所说的道理，并不像1+1＝2那样的直观清晰，总感觉哪里有不对头的地方，但具体哪里不对头，又说不出个所以然来。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/06/04 09:17pm 发表的内容：
是的：“承认这些是【APB逻辑】和【APB对应】，……”，但是跟证明（0,1）可数关系很大。

这里‘关系很大’的关系还是属于【APB逻辑】，‘可数’也不过是【APB可数】，与自然数的可数性没有关系。

在这论坛上和互联网上只能找到极少数人与我的见解相同【即认为（0,1）可数】；但证法不同。康托尔的那个“对角线法”证　...

我说嘛，你没看懂“对角线法”。

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2011/06/05 07:57am 第 1 次编辑]


自然数列是有始的，有序的，无限的；这是数学界公认的事实；elimqiu 认为自然数列有限是错误的。因为自然数列无限，所以有1+1+1+1+1+…+1… →∞。我给出的 ∞ 的定义是一字不差的照抄《数学百科全书》日本数学会编，中译本由科学出本社出版，第 90 页左栏第 20 行的主要内容；该书的翻译得到了华罗庚，苏步青，江泽涵，吴文俊……，万哲先，王元，王辛坤，潘成洞等人的指导和审稿；应该不会错吧？
在我看来：看不看懂“对角线法”已经不重要了，因为康托尔在证明（0,1）不可数时一开始就已经错了：先把不可以写成一排的纯小数写成了一排；然后再用反证法当然可以导出矛盾。（0,1）的全体纯小数是不可以用阿拉伯数字写成一排的；因为任意二个不同纯小数之间总还有无穷多个纯小数，这是永远也写不完的；用数轴是可以的。

elimqiu

下面引用由门外汉在 2011/06/04 10:42pm 发表的内容：
罗素在《数理哲学导论》中举了一个例子（具体的文字忘记了，大概是这个意思）：假设世界的总数目是9（即9是最大的自然数），则9的后继（10）便是一个空集，即有9＝10，也有10＝11，也有9＝11……，在这里，皮亚诺公理便失效了。

不知道罗素的东西的明确界定。不好说什么。9是最大数显然不符合皮亚诺公理。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/06/05 07:26am 发表的内容：
自然数列是有始的，有序的，无限的；这是数学界公认的事实；elimqiu 认为自然数列有限是错误的。

这是APB逻辑还是APB幻想? 请问我哪里说过自然数列有限？呵呵

因为自然数列无限，所以有1+1+1+1+1+…+1… →∞。我给出的 ∞ 的定义是一字不差的照抄《数学百科全书》日本数学　...

你照抄不等于说∞是自然数。你哪里可以抄到无穷大自然数？