[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

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浏览量与昨天惊人的相似。其实，今天我不打算做记录了，因为沉不下去，温度就不上升，无奈，习惯了，手还是痒痒，又敲击了键盘，把它提了上来，不过，看官们，如果真的对素数问题感兴趣的话，还是看一看1#2#较好，那里有你好奇的问题，值的深思。
朋友们，晚安！good bye！

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-5-21 16:01
各生素数的数量关系
素数：自然数N内素数个数约等于N/ln(N)，即素数定理。
孪生素数：N内孪生素数个数约 ...

各生素数的数量关系（改正贴）
原发《各生素数的数量关系》贴作废，以此贴为准；因楼号不断地在变，有时显示1905#，有时显示其它数。

素数：自然数N内素数个数约等于N/ln(N)，即素数定理。
孪生素数：N内孪生素数个数约等于1.32*N/(ln(N)^2)，实际上公式复杂的很。
表兄弟素数：数量约等于孪生素数的数量。

跨距6的共有二生、三生素数三种，其数量分别用（3）、（1）和（2）表示；三种素数总数量约等于孪生素数总数量的2倍，间距026的（1）和间距046的（2）数量大致相等，即（1）≈（2）。
设孪生素数总数量是1m，则（1）+（2）+（3）总数量是2m，而（1）≈（2）≈2.86*N/(ln(N)^3)。
按1760楼  白新岭  二生相邻素数（P，P+6）的数量公式：
2*1.32032372118072*∫ 1/(ln(N)^2)*dn-2*2.85824917688516*∫ 1/(ln(N)^3)*dn
亦是（3）≈2m-（1）-（2）。
总数已知，（1）和（2）可求，（3）亦可求。
（1）≈（2）≈2.858*N/ln(N)^3，取N=611953（第5000个素数），则（1）≈（2）≈2.858*611953/ln(611953)^3=739；
（1）+（2）+（3）≈2*1.32*611953/ln(611953)^2=9100；（3）=9100-739*2=7621。
据实统计，前5万个素数中，孪生素数总数5420个；间距06的8885个，026+046的1982个，总数10867个，约为孪生素数总数的2倍。
计算值与真实值存在一定的差距，且由于N=611953，仅是一个不太大的整数，故误差较大！

yangchuanju

各生素数的数量关系（二）
令M(8)表示跨距8的相邻及非相邻素数总数，M(8.2)、M(8.3)、M(8.4)分别表示跨距8的2生、两种三生及四生素数个数，（下同，不再一一说明），则有：
M(8)=M(8.2)+2*M(8.3)+M(8.4)≈M(2)，M(8)、M(8.4)可求，要解出M(8.2)和M(8.3)，还差一个条件。
依《T1——各种跨度k生素数个数的哈李常数值表》
  g  k   T(g,k)        A(g,k)
--- -- ----------------------------------------------
  2  2  1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
--- -- ----------------------------------------------
  4  2  1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
--- -- ----------------------------------------------
  6  2  2 0.2640647263387478295711248440058223113730e+01
  6  3  2 0.5716497191438440864860269321452701756079e+01
--- -- ----------------------------------------------
  8  2  1 0.1320323631693739147855624220029111556865e+01
  8  3  2 0.5716497191438440864860269321452701756079e+01
  8  4  1 0.4151180863237415757165285561959537515799e+01
M(8.3)应与M(6.3)大致相等，M(6.3)可求，故M(8.3)亦可求，跨距8的各生素数均可求。

《T1——各种跨度k生素数个数的哈李常数值表》中的各生素数的关系，已经基本查明
6  2表示跨距6的二生素数全部数量，包括跨距6的3种素数的数量；
6  3仅表示跨距6的三生素数全部数量。
M(6) ≈2*M(2)≈2*1.320…*N/(ln(N)^2)
M(6.3)≈2.858…*N/(ln(N)^3)
M(6)=M(6.2)+2*M(6.3)，M(6.2)=M(6)-2*M(6.3)

假定：
8  2表示跨距8的二生素数全部数量，包括跨距8的相邻二生素数、2种三生素数和1种四生素数的数量；
8  3表示跨距8的三生、四生素数全部数量。

以下仅是估算，将相关积分式都改成分数式形式，并在各式均增加一个转换系数K，令N=611953（第50000个素数），
M(8)≈M(2)≈1.320*K*611953/(ln(611953）^2）=4550K；
M(8.4)≈4.1512*K*611953/(ln(611953)^4)=81K；
2*M(8.3)+M(8.4)≈2*M(6.3)≈2*5.7165*K*611953/(ln(611953）^3）=2958K；
2*M(8.3)≈2958K-81K≈2877K，这里的两个转换系数K不一定相等，本不能合并，为简化才进行了合并；
M(8)=M(8.2)+2*M(8.3)+M(8.4)，
M(8.2)= M(8) -2*M(8.3) -M(8.4)=4550K-2877K-81K=1592K，同样这里的3个转换系数K不一定相等，本不能合并，为简化也进行了合并。

实际上，前5万个素数中，间距8的二生素数3643个，2种三生素数1720个，四生素数118个，总数5481个；
而估算值对应是1592K个，2877K个，81K个，总共4550K个，各个K是不相等的。

yangchuanju

各生素数的数量关系（三）
跨距10的最高生仍是4，包括间距0-4-6-10型四生素数、0-4-10、0-6-10型三生素数（2种）及0-10型二生素数。数量恒等式应为：
M(10)=M(10.2)+2*M(10.3)+M(10.4)
网页《Prime Constellation》仅给出M(10.4)的计算公式，其余试用《T1——各种跨度k生素数个数的哈李常数值表》中的系数求算：
10  2  4 0.1760431508924985530474165626705482075820e+01
10  3  6 0.8574745787157661297290403982179052634118e+01
10  4  2 0.8302361726474831514330571123919075031599e+01
用第1行系数求M(10)≈1.76043…*∫ 1/(ln(N)^2)*dn，注意被积函数指数是“-2”；
用第2行系数求2*M(10.3)+M(10.4)≈2*8.5747…*∫ 1/(ln(N)^3)*dn，注意被积函数指数是“-3”；
用第3行系数求M(10.4)≈8.302…*∫ 1/(ln(N)^4)*dn，注意被积函数指数是“-4”；

再简化，将相关积分式都改成分数式形式，令N=611953（第50000个素数），
M(10)≈1.76043K*N/(ln(N)^2)
2*M(10.3)+M(10.4)≈2*8.5747K*N/(ln(N)^3)
M(10.4)≈8.302K*N/(ln(N)^4)

M(10)≈1.76043*611953/(ln(611953)^2)*K=6068K
2*M(10.3)+M(10.4)≈2*8.5747*611953/(ln(611953)^3)*K=4436K
M(10.4)≈8.302*611953/(ln(611953)^4)*K=161K
2*M(10.3)≈4436K-161K=4275K
M(10.2)=M(10)-2*M(10.3)-M(10.4)=6068K-4436K=1632K

验证：前5万个素数中，间距10的二生素数4572个，2种三生素数2407个，四生素数241个，总数7220个；而估算值对应是1632K个，4275K个，161K个，总共6068K个。

yangchuanju

白新岭老师：您好！
您对那个大系数表中的关系搞清楚了吗？
学生对跨距等于8和10中的各生素数的数量关系分析正确吗？

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-5-23 22:31
截止2021年5月22日星期六四月初十一22：41分，浏览量32445人次，回复2236，热度94°。
截止2021年5月23日 ...

昨日浏览量和热度增加多少？

那个常数大表下载于网页《Gaps between consecutive primes》（连续素数间的间隙）之中（网址：http://sweet.ua.pt/tos/gaps.html），原名《T1.txt.gz》，网页中部有这么几段话，算作对表格的“说明”吧：

Hardy-Littlewood constants常数 and jumping跳跃 champions夺标；冠军

If one assumes假设; 假定the truth理论 of the prime k-tuple K生素数 conjecture猜想 [11], it is possible可能的 to estimate估计;评价;意见;判断the number数量 of occurrences发生的up to x of a prime gap间隙 of g, denoted为…的符号here by N(x;g), for relatively关系上;相对地;比较上;成比例地small values of g [5], [12].
如果k生素数猜想理论成立，它便可以用于评估素数的间隙发生的数量——从最小的g直到x，用符号N(x,g)表示，相当于最小值g。

With用 the help帮助 of Siegfried Herzog人名 we managed与计划及管制有关的to compute计算 all relevant有关的constants常数 necessary必要的to do this for all (even偶数) g smaller than 214.
使用Siegfried Herzog的帮助，我们计划计算各种相关的必要的常数——小于214的所有偶数g。

(We double-checked反复检查each other's results结果 in full up to g=190 and I checked some of Zig's results for larger values of g.)
我们反复检查了它的每一个结果——直到g=190，我也检查了Zig的某些比g值大的结果。

The constants常数, and minimal details最小的细节about how关于如何 they can be used to用于 estimate估计;评价 N(x;g), can be found建立;创立 here [97KiB, compressed被压缩的with gzip].
这些常数和最小的细节，如何使用它们评估N(x,g)，参见这里的压缩文档，[97KiB,  gzip格式]。

It was observed观察empirically以经验为主的 that these estimates估计；概数；预算of N(x;g) appear出现to not deviate越出正轨;违反from their true values by more that sqrt平方根 (2 N(x;g) log log N(x;g))  (law规则of the iterated logarithm迭代对数).  
它们都是经验观察值，这些估计数不超过2* N(x;g)* log log N(x;g)的平方根。

Using a tolerance容忍,宽容;公差100 times倍 larger than this, our data数据 suggests暗示, 建议that:
N(x;6) is larger  than N(x;30) for x <= 1.74274357320*10^35
N(x;6) is smaller than N(x;30) for x >= 1.74274357327*10^35

N(x;30) is larger  than N(x;210) for
  x <= 6.42869106260176003801404998376634178448636748209672
         30934734000364513469429976733667048809926190112851
         62815790254884411833280961248151172061805903500614
         28807728994628470520846144445274265143048582533167
         857*10^425
N(x;30) is smaller than N(x;210) for
  x >= 6.42869106260176003801404998376634178448636748209672
         30934734000364513469429976733667048809926190112851
         62815790254884411833280961248151172061805903500614
         28807728994628470520846144445274265143048582533167
         861*10^25
We expect期待a change变化 of jumping跳跃 champion夺标；冠军 [10] inside内部 the intervals分隔 delimited间隔by these bounds.边界, 范围

yangchuanju

以下是表头的文字说明：
# Hardy-Littlewood data数据 needed用于 to estimate估计the number of occurrences发生的 of a prime gap
#
# g is the prime gap素数间隙
# k is the number of primes in a prime constelation (k-tuple) K生素数
# T(g,k) is the accumulated累计 value值 of prod产生 (q-w) [see Brent's paper for details]
# A(g,k) is the constant常数 associated关联的 to T(g,k); the followin下列的g pari-gp function函数 can be used to compute计算 it:
#     A(g,k,T)= /* compute A(g,k) from T(g,k) */
#     { local(x);
#       x=2^(k-1)*T*HL[k];
#       forprime(p=3,g/2,if(p<=k,x/=(1-1/p)^k;);if(p>k,x/=(1-k/p););x/=p;);
#       return(x);
#     };
#     /*
#     ** to compute the Hardy-Littlewood constants常数 HL[k] use the following code代码:
#     ** read("cohen.gp"); /* get this file from the pari-gp web site! */
#     ** HL=vector(50);
#     ** for(k=2,50,HL[k]=prodeulerrat(p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k,k+1));
#     */
#
# N(x;g) is the number of prime gaps of g up to x
# For example例如, for g=12 it can be estimated估算的；估计的 by:
#     lv=vector(5);
#     lx=log(x);
#     lv[1]=real(-eint1(-lx)); /* the logarithmic integral */
#     for(k=2,5,lv[k]=(lv[k-1]-x/lx^(k-1))/(k-1)); /* warning: LOSS OF PRECISION (use extra precision) */
#     Napprox=A(12,2,6)*lv[2]-A(12,3,14)*lv[3]+A(12,4,10)*lv[4]-A(12,5,2)*lv[5];
#     /* note the alternating sign; the constants A(12,k,T) should be pre-computed */
#
# Last updated on September 8, 2012

以上文字说明中有两段C程序代码，请白老师给以翻译和解释！
表格中共有4列数据，第1列g——素数间距；k——生数；T(g，k)——**的累计值；A(g，k)——常数。
N（x，g）中的x是指的哪个数字？

yangchuanju

还有一个47KiB的类似的大数据表，可在网页《Goldbach conjecture verification》哥德巴赫猜想证实（网址：http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html）中下载，名字也是《T1.txt.gz》，请老师打开网页，找到连接处下载后一块进行对比分析！下段文字的末尾处既是。
Hardy-Littlewood constants
If one assumes the truth of the prime k-tuple conjecture [2], it is possible to estimate the number of occurrences up to x of minimal Goldbach partitions with a smallest prime of p, denoted here by L(x;p), for relatively small values of p [7]. We managed to compute all relevant constants necessary to do this for all (odd primes) p smaller than 250. The constants, and minimal details about how they can be used to estimate L(x;p), can be found here [47KiB, compressed with gzip].

重生888@

白先生好！您在二楼叹息除哈-李渐进公式，没有其他渐进公式。我现在的新新公式是计算哥猜的真正渐进公式！比其拉曼纽扬系数，准确的多！不知您体会到了没有？谢谢！

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-5-25 06:20
还有一个47KiB的类似的大数据表，可在网页《Goldbach conjecture verification》哥德巴赫猜想证实（网址：h ...

感谢yangchuanju先生提供的地址。