[原创]k生素数群的数量公式

白新岭 · 发表于 2021-5-27 16:13

十四含有对数函数的积分
132. ∫lnxdx=xlnx-x+c
133. ∫\( {dx}\over {xlnx}\)=ln│lnx│+c
134.∫\(x^n\)lnxdx=\(1\over{n+1}\)\(x^{n+1}\)(lnx-\(1\over{n+1}\))+c
135.∫\((lnx)^n\)dx=x\((lnx)^n\)-n∫\((lnx)^{n-1}\)dx
136.不写了，有点复杂。
因为在解决k生素数的数量问题时，多数情况下是用135. 只不过n为负数而已。

yangchuanju · 发表于 2021-5-27 17:48

白新岭发表于 2021-5-27 16:13
十四含有对数函数的积分
132. ∫lnxdx=xlnx-x+c
133. ∫\( {dx}\over {xlnx}\)=ln│lnx│+c

孪生素数公式计算公式：
《数学手册》（数学手册编写组  高等教育出版社  1979年5月第1版 1984年6月第4次印刷）276页第10行给出的第11个不定积分公式是：
被积函数f(x)： x^n / ln(ax)^m  (m≠1)
不定积分∫f(x) dx： - x^(n+1)/(m-1)/ln(ax)^(m-1) – (n+1)/(m-1)*∫x^n/ln(ax)^(m-1) dx

令n=0，并消去系数a，被积函数f(x)变成： 1/ ln(x)^m  (m≠1)
不定积分∫f(x) dx变成：    - x/(m-1)/ln(x)^(m-1) – 1/(m-1)*∫1/ln(x)^(m-1) dx
再令m=2，被积函数f(x)变成： 1/ ln(x)^2
不定积分∫f(x) dx变成：    - x/ln(x) – ∫1/ln(x) dx
即∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) + ∫1/ln(x) dx
= -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…
截取前部若干项，并乘以1.320323632，当x不太小时可认为它就是孪生素数各式的计算公式。
该式收敛相当慢，当总项数达到102项时，x=10^8—10^14内，两者的比值为0.99995--1.00012。

白新岭 · 发表于 2021-5-28 08:56

截止2021年5月23日星期日四月初十二22：23分，浏览量32583人次，回复2237，热度94°。
截止2021年5月28日星期五四月初十七08：54分，浏览量33247人次，回复2326，热度95°。
浏览量 ↑664人次，回复 ↑ 89，热度↑ 1 °5月25日上升的

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 09:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 11:03 编辑

白新岭发表于 2021-5-28 08:56
截止2021年5月23日星期日四月初十二22：23分，浏览量32583人次，回复2237，热度94°。
截止2021年5月28日 ...

改写一下白老师1984楼的跨距36的相邻二生素数的数量公式，重发于此：
二生相邻素数（P，P+36）的数量公式：
2*1.32032372118072*∫1/ln(n)^2*dn -15543/560*2.85824917688516*∫1/ln(n)^3*dn +592204/2457*4.15118255134627*∫1/ln(n)^4*dn -391649/576*10.1318018169296*∫1/ln(n)^5*dn +125544/77*17.2986298980835*∫1/ln(n)^6*dn -155981/120*53.9720251184226*∫1/ln(n)^7*dn +47309/81*178.26229268981*∫1/ln(n)^8*dn -4151/30*630.065899972291*∫1/ln(n)^9*dn +758/35*1704.74613953383*∫1/ln(n)^10*dn -2*3062.09074084973*∫1/ln(n)^11*dn
积分下界1，上界n，都已删除！
一个公式的获得并不容易，写出来也不见得轻松，能给人留下美好的记忆也算值的。

白老师今天就要实现您的初期目标：200页，2000贴了吧？

刚刚查过公式原在1984#，一回儿变成1968#了，少了16，以上是加减12，现在是16了！一回儿有可能又变回去！
这里现在是1974#

白新岭 · 发表于 2021-5-29 09:52

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浏览量 ↑142人次，回复 ↑ 3，热度↑ 1 °
每次yangchuanju先生的到来都能使温度上升，说明yangchuanju先生是一位上进者。

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 11:52

计算实例——计算跨距36最密11生素数个数：
《K生素数个数公式》贴已经给出
∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2 !) +ln(x)^3/(3*3!) +…，无穷多项

∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) +∫1/ln(x) dx
= -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…

∫1/ln(x)^3 dx = -x/2/ln(x)^2 +1/2*∫1/ln(x)^2 dx
= -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^4 dx = -x/3/ln(x)^3 +1/3*∫1/ln(x)^3 dx
= -x/3/ln(x)^3 +1/3*{ -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]}

在未乘各自的哈李常数（Cp）之前都不是各生素数的数量公式。类推一下：
∫1/ln(x)^5 dx = -x/ln(x)^4/4 +[∫1/ln(x)^4 dx]/4；
∫1/ln(x)^6 dx = -x/ln(x)^5/5 +[∫1/ln(x)^5 dx]/5
∫1/ln(x)^7 dx = -x/ln(x)^6/6 +[∫1/ln(x)^6 dx]/6
∫1/ln(x)^8 dx = -x/ln(x)^7/7 +[∫1/ln(x)^7 dx]/7
∫1/ln(x)^9 dx = -x/ln(x)^8/8 +[∫1/ln(x)^8 dx]/8
∫1/ln(x)^10 dx = -x/ln(x)^9/9 +[∫1/ln(x)^9 dx]/9
∫1/ln(x)^11 dx = -x/ln(x)^10/10 +[∫1/ln(x)^10 dx]/10
…………
由∫1/ln(x) dx变到∫1/ln(x)^2 dx仅增加了一项“-x/ln(x)”；
由∫1/ln(x)^2 dx变到∫1/ln(x)^3 dx又增加了一项“-x/ln(x)^2/2”；
由∫1/ln(x)^3 dx变到∫1/ln(x)^4 dx再增加了一项“-x/ln(x)^3/3”；
预测
由∫1/ln(x)^4 dx变到∫1/ln(x)^5 dx再增加了一项“-x/ln(x)^4/4”；
由∫1/ln(x)^5 dx变到∫1/ln(x)^6 dx再增加了一项“-x/ln(x)^5/5”；
由∫1/ln(x)^6 dx变到∫1/ln(x)^7 dx再增加了一项“-x/ln(x)^6/6”；
由∫1/ln(x)^7 dx变到∫1/ln(x)^8 dx再增加了一项“-x/ln(x)^7/7”；
由∫1/ln(x)^8 dx变到∫1/ln(x)^9 dx再增加了一项“-x/ln(x)^8/8”；
由∫1/ln(x)^9 dx变到∫1/ln(x)^10 dx再增加了一项“-x/ln(x)^9/9”；
由∫1/ln(x)^10 dx变到∫1/ln(x)^11 dx再增加了一项“-x/ln(x)^10/10”；
…………

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 11:53

接上楼
计算跨距36的最密11生素数时要用到∫1/ln(x)^11 dx，将上述各式依次展开得：
∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2 !) +ln(x)^3/(3*3!) +…，
∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…
∫1/ln(x)^3 dx = -1/2*x/ln(x)^2 -1/2*x/ln(x) + 1/2*[ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^4 dx = -1/3*x/ln(x)^3 -1/6*x/ln(x)^2 -1/6*x/ln(x) +1/6*[ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^5 dx = -1/4*x/ln(x)^4 -1/12*x/ln(x)^3 -1/24*x/ln(x)^2 -1/24*x/ln(x) +1/24*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^6 dx = -1/5*x/ln(x)^5 -1/20*x/ln(x)^4 -1/60*x/ln(x)^3 -1/120*x/ln(x)^2 -1/120*x/ln(x) +1/120*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^7 dx = -1/6*x/ln(x)^6 -1/30*x/ln(x)^5 -1/120*x/ln(x)^4 -1/360*x/ln(x)^3 -1/720*x/ln(x)^2 -1/720*x/ln(x) +1/720*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^7 dx = -1/6*x/ln(x)^6 -1/30*x/ln(x)^5 -1/120*x/ln(x)^4 -1/360*x/ln(x)^3 -1/720*x/ln(x)^2 -1/720*x/ln(x) +1/720*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^8 dx = -1/7*x/ln(x)^7 -1/42*x/ln(x)^6 -1/210*x/ln(x)^5 -1/840*x/ln(x)^4 -1/2520*x/ln(x)^3 -1/5040*x/ln(x)^2 -1/5040*x/ln(x) +1/5040*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^8 dx = -1/7*x/ln(x)^7 -1/42*x/ln(x)^6 -1/210*x/ln(x)^5 -1/840*x/ln(x)^4 -1/2520*x/ln(x)^3 -1/5040*x/ln(x)^2 -1/5040*x/ln(x) +1/5040*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^9 dx = -1/8*x/ln(x)^8 -1/56*x/ln(x)^7 -1/336*x/ln(x)^6 -1/1680*x/ln(x)^5 -1/6720*x/ln(x)^4 -1/20160*x/ln(x)^3 -1/40320*x/ln(x)^2 -1/40320*x/ln(x) +1/40320*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^10 dx = -1/9*x/ln(x)^9 -1/72*x/ln(x)^8 -1/504*x/ln(x)^7 -1/3024*x/ln(x)^6 -1/15120*x/ln(x)^5 -1/60480*x/ln(x)^4 -1/181440*x/ln(x)^3 -1/362880*x/ln(x)^2 -1/362880*x/ln(x) +1/362880*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
∫1/ln(x)^11 dx = -1/10*x/ln(x)^10 -1/90*x/ln(x)^9 -1/720*x/ln(x)^8 -1/5040*x/ln(x)^7 -1/30240*x/ln(x)^6 -1/151200*x/ln(x)^5 -1/604800*x/ln(x)^4 -1/1814400*x/ln(x)^3 -1/3628800*x/ln(x)^2 -1/3628800*x/ln(x) +1/3628800*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
…………
将∫1/ln(x)^11 dx中的参变量x换成需要计算的数字，对于中括号内的无穷多项（根据精度需要截取适当项）累加求和，求出和值后再乘以最密11生的哈李常数（可能是0.6124158652727001914793902971198682573366e+04=6124.15865…，若采用白新岭先生的常数则为3062.09074084973000），即得11生最密素数的个数。
11生最密素数有2种，数量应大致相等，计算所得为其中任一种的个数。

各项系数的分母：
1——1
2——1,1
3——2,2,2
4——3,6,6,6
5——4,12,24,24,24
6——5,20,60,120,120,120
7——6,30,120,360,720,720,720
8——7,42,210,840,2520,5040,5040,5040
9——8,56,336,1680,6720,20160,40320,40320,40320
10——9,72,504,3024,15120,60480,181440,362880,362880,362880
11——10,90,720,5040,30240,151200,604800,1814400,3628800,3628800,3628800

白新岭 · 发表于 2021-5-29 16:15

跨度42的二生相邻素数涉及到12生素数，素数式量不加限制用排列组合\(C_{20}^{10}\)=184756,用Excel无法处理，因为最大行数65536，不满足要求。无法导出2007年版的Excel表，它的行数1048576（即1024的平方）。
所以只能改为在vfp中处理，这就要用到数组，所以今天看了下与数组有关的内容，还不错，学以致用，做了个程序，正在运行，有了结果贴出。

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 17:19

跨距36最密11生素数积分式检验与复核
∫1/ln(x)^11 dx = -1/10*x/ln(x)^10 -1/90*x/ln(x)^9 -1/720*x/ln(x)^8
-1/5040*x/ln(x)^7 -1/30240*x/ln(x)^6 -1/151200*x/ln(x)^5
-1/604800*x/ln(x)^4 -1/1814400*x/ln(x)^3 -1/3628800*x/ln(x)^2
-1/3628800*x/ln(x) +1/3628800*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

各项系数的分母
10 90 720 5040 30240 151200
604800 1814400 3628800 3628800 3628800

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 17:20

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 17:22 编辑

最密11生素数数量计算值
x 杨计算值二种最密十一生比值
10 -2.01 0
100 -0.03 1
1000 -0.01 1
10000 0.00 1
1E+05 0.00 1
1E+06 0.00 1
1E+07 0.01 1
1E+08 0.02 1
1E+09 0.05 1
1E+10 0.14 1
1E+11 0.43 1
1E+12 1.50 1
1E+13 5.83 7 0.832482165
1E+14 24.52 28 0.875785596
1E+15 110.26 111 0.99331271
1E+16 524.36 500 1.048727769
1E+17 2617.24 2672 0.979505358
1E+18 13626.17 13723 0.992944223
1E+19 73633.21
1E+20 411272.54
1E+21 2366281.60
1E+22 13983798.60
1E+23 84661900.22
1E+24 523891151.71
1E+25 3309936273.88
1E+26 21292082848.17
1E+27 139281985143.30
1E+28 926523080279.65
计算值与实际数值吻合度较高，说明积分式推导正确！

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[原创]k生素数群的数量公式

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