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【请求moranhuishou老师费心帮助计算，有点大用处，谢谢！】
你可以看我这编《勾股函数》
勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以C为半径在圆周上X、Y轴的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.
定义 若素数p≡1 （mod 4）
则 p=a^2+b^2
我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,a、b为三角形的两直角边.则a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α),那么我们称a为股函数元,记为Cg(p);称b为勾函数元,记为Sg(p).勾股函数和三角函数可直接变换。
引理 若素数p≡1 （mod 4）
则 p^2=(b^2-a^2)^2+(2ab)^2=(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
这是一勾股函数关系式.我们称pCos(2α)为股函数,记为Cg(2p),称;称pSin(2α)为勾函数,记为Sg(2p).
证明 因为 p=a^2+b^2
所以 p^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2）
=a^2+2ab+b^2
=(b^2-a^2)^2+(2ab)^2
将 a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α)代入上式,得：
p^2=(p(Cos(α))^2-p(Sin(α))^2)^2+(2p(Sin(α)Cos(α))^2
=(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
故得证.
例 设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解 5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合"勾三股四弦五"的勾股函数关系式.
在这里我们先了解自然数N=p1p2…pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1 若素数 p1≡p2≡1 (mod 4)
则 (p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明 因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
所以 p1p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
=(Cg(p1)Cg(p2)-Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)+Cg(p1)Sg(p2))^2
或 p1p2=(Cg(p1)Cg(p2)+Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)-Cg(p1)Sg(p2))^2
又因为 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)Cg(p))^2+(2Sg(p)Cg(p))^2
=(Cg2(p))^2+(Sg(p2))^2
同理 （p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
故得证.
也就是说，两个互素的素数,且被4整除余1,则这两个数积的平方,可表示为两组勾股数.
定理2 若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1 （mod 4）
则 (p1p2p…pm)^2=( Cg2(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg2(p1±p2±…±pm))^2
证明 用数学归纳法证明
p1p2p…pm=(Cg(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg(p1±p2±…±pm))^2
令 m=1时,p1=(Cg(p1)^2+(Sg(p1))^2,等式成立;
令m=k-1时,
(p1p2…p(k-1)=(Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2
等式成立;
令m=k时,
(p1p2…pk)=((Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2)(Cg(pk)^2+ Sg(pk)^2)
=(Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2
等式成立.
又因为 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=(Cg2(p))2+(Sg(p2))^2
同理 （p1p2p…pm)^2=((Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2)^2
=(Cg2(p1±p2±…±pm))^2+(Sg2(p1±p2±…±pm)^2
也就是说,m个互素的素数,且被4整除余1,则这m个素数积的平方,可表示为2^(m-1)组勾股数.
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发表于 2013-5-13 17:19
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