[原创]全新推导:勾股数组通解公式及其优化与两个规律

ataorj

上面提供了两种情况下的公式,但是条件已被化解掉了,即使用了其它字母,不用区分m,n的奇偶性了。事实上,两组公式取值相同,完全等价,不过是x,y值互换了而已。所以只使用任何一组公式即可,我选择m=2q时的那个,共3个字母:n,p,q,都是大于0的整数。

ataorj

由于取值相同,上面m=2q时和n=2q时两个优化是等价的,只是x,y值互换而已[另外注意:m=2q时和n=2q时的字母对应关系是:n\q;p\m;q\p].所以,最终优化只是一个公式:
n,p,q是大于0的整数,[n中不应分解出完全平方数,否则会产生无谓的重复求解]
';仍然表示平方
x=n(2qp+p';)
y=n(2qp+2q';)
z=n(2qp+2q';+p';)
n中不应分解出完全平方数,即n≠m';k,m>1,k>0.
比如n=4*2时的某一组:
8*3=24 8*4=32 8*5=40
与n=1,p=4,q=2时的结果重合
我获得p=4,q=2的思路如下,没有解方程,从z推导:
2qp+2q';+p';=40
2p[表示p现在必然含有因子2],消去2,如下:
2pq+q';+2p';=20
2q
2pq+2q';+p';=10
2p
2pq+q';+2p';=5,这时p=q=1
所以p=2*2*1=4,q=2*1=2
代入公式后经验证成功.
==========
回到n≠m';k,看m';k数列:
4,8,12,16,20,24,28,32,36,...
9,18,27,36,45,...
...
这个数列也有重合问题,我们的公式还可以继续优化以避免这类问题吗?:
x=n(2qp+p';)
y=n(2qp+2q';)
z=n(2qp+2q';+p';)
可以,使用质数表,让n=abc...i. 其中a,b,c...i是各不相同的质数即可,比如n=2,3,5,6,7,10,11,12,13,15等等.
这样的n的"完整"列表的价值可能不仅仅只能用在我们这儿...
--------
对前面勾股数组一个规律表述的修改:
三数加减的等式,必至少一个是偶数,仅两种情形:二奇一偶和三偶.
勾股数组中,y恒偶,n和p奇则只有y是偶数.(但是注意:y不一定大于x.)
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至此,我对勾股数组的探究要告一个段落了.

ataorj

[这个贴子最后由ataorj在 2013/06/01 10:12am 第 1 次编辑] 更正:2) n=2q时,得:[q中不应分解出完全平方数,否则会产生无谓的重复求解] 改为:2) n=2q时,得:[注:q为奇数且q中不应分解出完全平方数,否则会产生无谓的重复求解] 因为,q中若含2因子则n为4的倍数,与前面n中不应分解出完全平方数矛盾. 这时,若1) m=2q时的n若可为偶数,则从各字母取值知,1)式包含了2)式,唯一的差别是1)式违反了2)式的限制,相当于扩大了2)式的取值,所以有矛盾,这时,只能也限制1)式的取值,这样的话,1)式2)式完全等价了, =========================== 有:勾股数组优化后的最终通解公式是: ';仍然表示平方 x=n(2qp+p';) y=n(2qp+2q';) z=n(2qp+2q';+p';) 其中,n,p,q是大于0的整数 其中,为避免无谓的重复求解,则还要求: n必须为奇数且n中不应分解出完全平方数.即n为奇质数(这里的质数包括1.可见许多外国数学中规定1是质数是有道理的)或是各不相同的奇质数的积(由于刚才规定了1为质数,"或是"前面可以略去,我们可以再次发现规定了1为质数后的便捷).即:n可以是1或3,5,7,11,13,15,17,19,21,23,29,... =========================== 我编程求了250组,经过验证,没有出现重复.下面关注有无遗漏. n<=21时,n可取10个值(见上面罗列),z<=21*5=105, 注:该5是n,p,q=1时的z,下面的p,q取值是解方程21=2qp+2q';+p';分别当q=1,p=1: p<=(√(2^2+4*(21-2))-2)/2舍尾进一得4,q<=(√(2^2+4*2*(21-1))-2)/(2*2)舍尾进一得3,则现在为获得105内的z,我们要构造10*4*3=120组勾股数组,凡是z大于105的无法保障能和前面的完全连续,所以舍弃.比如0110,0088,0066和0119,0105,0056之间缺少115,92,69.不想有遗漏的话则每对p,q取值不同时要分别调整n的最大取值,比较繁琐,比如,p,q=1时,n=1218/5...这里不再考虑. ---------- 下面是该120组勾股数组,两次罗列.第一次,字母顺次取值构造勾股数组,每组三数从大到小排列;第二次,排序全部勾股数组,105(含)内,共有35组勾股数组,谁有勾股数组表可以验证之?如果没有人提供反例或理论,则我这个应该是最可靠的了. **p=1 //q=1 n=1:0005,0004,0003 n=3:0015,0012,0009 n=5:0025,0020,0015 n=7:0035,0028,0021 n=11:0055,0044,0033 n=13:0065,0052,0039 n=15:0075,0060,0045 n=17:0085,0068,0051 n=19:0095,0076,0057 n=21:0105,0084,0063 //q=2 n=1:0013,0012,0005 n=3:0039,0036,0015 n=5:0065,0060,0025 n=7:0091,0084,0035 n=11:0143,0132,0055 n=13:0169,0156,0065 n=15:0195,0180,0075 n=17:0221,0204,0085 n=19:0247,0228,0095 n=21:0273,0252,0105 //q=3 n=1:0025,0024,0007 n=3:0075,0072,0021 n=5:0125,0120,0035 n=7:0175,0168,0049 n=11:0275,0264,0077 n=13:0325,0312,0091 n=15:0375,0360,0105 n=17:0425,0408,0119 n=19:0475,0456,0133 n=21:0525,0504,0147 **p=2 //q=1 n=1:0010,0008,0006 n=3:0030,0024,0018 n=5:0050,0040,0030 n=7:0070,0056,0042 n=11:0110,0088,0066 n=13:0130,0104,0078 n=15:0150,0120,0090 n=17:0170,0136,0102 n=19:0190,0152,0114 n=21:0210,0168,0126 //q=2 n=1:0020,0016,0012 n=3:0060,0048,0036 n=5:0100,0080,0060 n=7:0140,0112,0084 n=11:0220,0176,0132 n=13:0260,0208,0156 n=15:0300,0240,0180 n=17:0340,0272,0204 n=19:0380,0304,0228 n=21:0420,0336,0252 //q=3 n=1:0034,0030,0016 n=3:0102,0090,0048 n=5:0170,0150,0080 n=7:0238,0210,0112 n=11:0374,0330,0176 n=13:0442,0390,0208 n=15:0510,0450,0240 n=17:0578,0510,0272 n=19:0646,0570,0304 n=21:0714,0630,0336 **p=3 //q=1 n=1:0017,0015,0008 n=3:0051,0045,0024 n=5:0085,0075,0040 n=7:0119,0105,0056 n=11:0187,0165,0088 n=13:0221,0195,0104 n=15:0255,0225,0120 n=17:0289,0255,0136 n=19:0323,0285,0152 n=21:0357,0315,0168 //q=2 n=1:0029,0021,0020 n=3:0087,0063,0060 n=5:0145,0105,0100 n=7:0203,0147,0140 n=11:0319,0231,0220 n=13:0377,0273,0260 n=15:0435,0315,0300 n=17:0493,0357,0340 n=19:0551,0399,0380 n=21:0609,0441,0420 //q=3 n=1:0045,0036,0027 n=3:0135,0108,0081 n=5:0225,0180,0135 n=7:0315,0252,0189 n=11:0495,0396,0297 n=13:0585,0468,0351 n=15:0675,0540,0405 n=17:0765,0612,0459 n=19:0855,0684,0513 n=21:0945,0756,0567 **p=4 //q=1 n=1:0026,0024,0010 n=3:0078,0072,0030 n=5:0130,0120,0050 n=7:0182,0168,0070 n=11:0286,0264,0110 n=13:0338,0312,0130 n=15:0390,0360,0150 n=17:0442,0408,0170 n=19:0494,0456,0190 n=21:0546,0504,0210 //q=2 n=1:0040,0032,0024 n=3:0120,0096,0072 n=5:0200,0160,0120 n=7:0280,0224,0168 n=11:0440,0352,0264 n=13:0520,0416,0312 n=15:0600,0480,0360 n=17:0680,0544,0408 n=19:0760,0608,0456 n=21:0840,0672,0504 //q=3 n=1:0058,0042,0040 n=3:0174,0126,0120 n=5:0290,0210,0200 n=7:0406,0294,0280 n=11:0638,0462,0440 n=13:0754,0546,0520 n=15:0870,0630,0600 n=17:0986,0714,0680 n=19:1102,0798,0760 n=21:1218,0882,0840 下面顺次排出: 0005,0004,0003 0010,0008,0006 0013,0012,0005 0015,0012,0009 0017,0015,0008 0020,0016,0012 0025,0020,0015 0025,0024,0007 0026,0024,0010 0029,0021,0020 0030,0024,0018 0034,0030,0016 0035,0028,0021 0039,0036,0015 0040,0032,0024 0045,0036,0027 0050,0040,0030 0051,0045,0024 0055,0044,0033 0058,0042,0040 0060,0048,0036 0065,0052,0039 0065,0060,0025 0070,0056,0042 0075,0060,0045 0075,0072,0021 0078,0072,0030 0085,0068,0051 0085,0075,0040 0087,0063,0060 0091,0084,0035 0095,0076,0057 0100,0080,0060 0102,0090,0048 0105,0084,0063 下面的无法保障能和上面的完全连续,所以舍弃 0110,0088,0066 0119,0105,0056 0120,0096,0072 0125,0120,0035 0130,0104,0078 0130,0120,0050 0135,0108,0081 0140,0112,0084 0143,0132,0055 0145,0105,0100 0150,0120,0090 0169,0156,0065 0170,0136,0102 0170,0150,0080 0174,0126,0120 0175,0168,0049 0182,0168,0070 0187,0165,0088 0190,0152,0114 0195,0180,0075 0200,0160,0120 0203,0147,0140 0210,0168,0126 0220,0176,0132 0221,0195,0104 0221,0204,0085 0225,0180,0135 0238,0210,0112 0247,0228,0095 0255,0225,0120 0260,0208,0156 0273,0252,0105 0275,0264,0077 0280,0224,0168 0286,0264,0110 0289,0255,0136 0290,0210,0200 0300,0240,0180 0315,0252,0189 0319,0231,0220 0323,0285,0152 0325,0312,0091 0338,0312,0130 0340,0272,0204 0357,0315,0168 0374,0330,0176 0375,0360,0105 0377,0273,0260 0380,0304,0228 0390,0360,0150 0406,0294,0280 0420,0336,0252 0425,0408,0119 0435,0315,0300 0440,0352,0264 0442,0390,0208 0442,0408,0170 0475,0456,0133 0493,0357,0340 0494,0456,0190 0495,0396,0297 0510,0450,0240 0520,0416,0312 0525,0504,0147 0546,0504,0210 0551,0399,0380 0578,0510,0272 0585,0468,0351 0600,0480,0360 0609,0441,0420 0638,0462,0440 0646,0570,0304 0675,0540,0405 0680,0544,0408 0714,0630,0336 0754,0546,0520 0760,0608,0456 0765,0612,0459 0840,0672,0504 0855,0684,0513 0870,0630,0600 0945,0756,0567 0986,0714,0680 1102,0798,0760 1218,0882,0840

ataorj

更正为:"不想有遗漏的话则每对p,q取值不同时要分别调整n的最大取值,比较繁琐,比如,p=4,q=3时,n=105/(2*12+2*9+16)...这里不再考虑."
==========
继续:由于获得上面的n序列并不容易,起码这里不深入这一话题.下面提供一种实用获取比如z≤200时的全部勾股数组的方法,解释可参照上一方法的
n为≤200/5=40的奇数(含1)序列,这会出现重复求解勾股数组,我们去重即可.
p≤(√(2^2+4*(39-2))-2)/2=舍尾进一得6,
q≤(√(2^2+4*2*(39-1))-2)/(2*2)=舍尾进一得4,
则现在为获得200内的z,我们要构造20*6*4=480组勾股数组,凡是z大于200的舍弃,排序去重共可得86组勾股数组:
5,4,3
10,8,6
13,12,5
15,12,9
17,15,8
20,16,12
25,20,15
25,24,7
26,24,10
29,21,20
30,24,18
34,30,16
35,28,21
37,35,12
39,36,15
40,32,24
41,40,9
45,36,27
50,40,30
50,48,14
51,45,24
52,48,20
53,45,28
55,44,33
58,42,40
60,48,36
65,52,39
65,56,33
65,60,25
68,60,32
70,56,42
73,55,48
75,60,45
75,72,21
78,72,30
80,64,48
85,68,51
85,75,40
87,63,60
90,72,54
91,84,35
95,76,57
97,72,65
100,80,60
102,90,48
105,84,63
110,88,66
111,105,36
115,92,69
116,84,80
117,108,45
119,105,56
120,96,72
123,120,27
125,100,75
125,120,35
130,104,78
130,120,50
135,108,81
140,112,84
143,132,55
145,105,100
145,116,87
150,120,90
150,144,42
153,135,72
155,124,93
156,144,60
159,135,84
165,132,99
169,156,65
170,136,102
170,150,80
174,126,120
175,140,105
175,168,49
180,144,108
182,168,70
185,148,111
185,175,60
187,165,88
190,152,114
195,156,117
195,168,99
195,180,75
200,160,120

ataorj

更正为:"不想有不需要的勾股数组的话则每对p,q取值不同时要"

ataorj

更正说明:前面求p,q时其实除了5,是错误的,会遗漏勾股数组.
1 呵呵,最完美的勾股数通解公式原来是下面这个.起因是再翻看我以前的批注,原来我曾经画图推导勾股数组,丢番图公式的是一个图,另一个图可得到的通解公式如下(是我当时的,但是不知何故我又批注n可去掉,所以前面开头帖子中没有n...):
首先注意:这个产生勾股数组的效率比上面那个的谁高,我暂时没思考,起码形式上更简洁了.
x=n(2pq)
y=n(q';-p';)
z=n(q';+p';)
';仍然表示平方,n,p,q是>0的整数且q>p,
其中,为避免无谓的重复求解,则还要求:n为奇质数(这里的质数包括1.这个不能是偶数的原因,我还没有找到.总之,偶数会有重复解),n中不应分解出完全平方数.
2 我还批注x^n+y^n≠z^n可化为用勾股数公式来推导.费尔马自说但是没留下的"令人惊异的证明"估计就是这个思路.我确信n为偶时用勾股数公式推导很容易.n为奇时不过因为我不知我以前推导过一个无理数规律没有而不能轻易自信.不过那个无理数规律我以前一直起码默认为成立.有空再思考.
我当时对这些是花了些时间的,甚至有小数讨论,使用的是我当时用输液针头自制的钢笔,呵呵...
3 回到正题,利用新近公式,下面提供一种实用获取比如z≤105时的全部勾股数组的方法,解释可参照上一方法的
n为≤105/5=21的奇数(含1,共11个)序列,这会出现重复求解勾股数组,我们去重即可.
注:该5是n,p,q=1时的z,下面的p,q取值是解方程105=q';+p';当p=1:
q≤√(105-1)=舍尾进一得11,[尾为0时不进一]
p≤10,[要求q>p]
则现在为获得200内的z,要求q>p,所以我们要构造??组勾股数组{这个我让电脑总是处于q>p,所以没必要列出"??"},凡是z大于105的舍弃,排序去重共可得56组勾股数组[看看以前我那个仅35个,居然遗漏了21个!.其实,由于任一勾股数组都有3的倍数,所以105内的勾股数组一定不小于105/3即35个,当时应该敏感这个的...]:
5,4,3
10,8,6
13,12,5
15,12,9
17,15,8
20,16,12
25,20,15
25,24,7
26,24,10
29,21,20
30,24,18
34,30,16
35,28,21
37,35,12
39,36,15
40,32,24
41,40,9
45,36,27
50,40,30
50,48,14
51,45,24
52,48,20
53,45,28
55,44,33
58,42,40
60,48,36
61,60,11
65,52,39
65,56,33
65,60,25
65,63,16
68,60,32
70,56,42
73,55,48
74,70,24
75,60,45
75,72,21
78,72,30
80,64,48
82,80,18
85,68,51
85,75,40
85,77,36
85,84,13
87,63,60
89,80,39
90,72,54
91,84,35
95,76,57
97,72,65
100,80,60
100,96,28
101,99,20
102,90,48
104,96,40
105,84,63[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
则现在为获得200内的z
200应是:105

ataorj

呵呵,我的主题没有关闭,我直接回复了,不知道飘飘发言了,我通常是手机上网,忽略图片.
下面回复飘飘.
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如果你的字母都是整数,边也是整数,肯定不是勾股数通解公式,你试验9,12,15
我一眼是看不出费马的,也许以后...

ataorj

一个样，这些都不是通解。全部增加系数n才可能行。
如果不要求整数，你可以只使用丢番图公式，不需要n，还有另外一个原始的
勾股数组通解公式可用，就是你红色的a，b加上根号即可
----------------------
继续前面
x=n(2pq)
y=n(q';-p';)
原因找到了,n为偶时,两组勾股数的x,y会发生相互角色互换,所以重复.
2*2pq=(q+p)';-(q-p)';
2*(q';-p';)=2(q+p)(q-p)
如果需要检验才能发现问题,说明方法还不完备.我们能完备吗?有终极的一套方法吗?我们永远需要实际检验?永远可能发现新的问题?永远肯定、实践、又否定中？我们依然在探索中...
1 不完整不详细的论证是不可靠的.
2 事物关联,任何一个细节元素都可能影响全局,任何局部变动都应推演一下,展开全部细节关系.
...