甲乙丙瓶各有1升水，每次甲倒一半给乙，乙倒一半给丙，丙倒一半给甲，求稳定状态

天山草 · 发表于 2013-6-30 08:59

楼主陆教授说得对，就是“同时”与“依次”有区别造成的。在倒水问题中，如果甲乙丙都各自有一个“备用瓶”，每一轮操作时，先把各瓶的水倒一半至它的备用瓶中，然后，将甲备用瓶里的水倒给乙瓶；乙备用瓶里的水倒给丙瓶；丙备用瓶里的水倒给甲瓶。这样操作时，无论初始状态如何，最终甲乙丙瓶里的水就是一样多了。
演示上述操作的程序如下：
Private Sub form_Click()
a = 1: b = 2: c = 6 ';甲乙丙三个瓶子，开始时各有 a,b,c 公升水。

   k = 12  ';操作次数

   For i = 1 To k
   a1 = a / 2: b1 = b / 2: c1 = c / 2  ';将各瓶水分别倒出 1/2 到备用瓶
   a = a1 + c1: b = b1 + a1: c = c1 + b1

   Print "a("; i; ")=";: Print Format(a, "#.#######")
   Print "b("; i; ")=";: Print Format(b, "#.#######")
   Print "c("; i; ")=";: Print Format(c, "#.#######")
   Print
   Next i
   End Sub
操作 12 次，各次运行结果如下：

a( 1 )=3.5
b( 1 )=1.5
c( 1 )=4.
a( 2 )=3.75
b( 2 )=2.5
c( 2 )=2.75
a( 3 )=3.25
b( 3 )=3.125
c( 3 )=2.625
a( 4 )=2.9375
b( 4 )=3.1875
c( 4 )=2.875
a( 5 )=2.90625
b( 5 )=3.0625
c( 5 )=3.03125
a( 6 )=2.96875
b( 6 )=2.984375
c( 6 )=3.046875
a( 7 )=3.0078125
b( 7 )=2.9765625
c( 7 )=3.015625
a( 8 )=3.0117188
b( 8 )=2.9921875
c( 8 )=2.9960938
a( 9 )=3.0039063
b( 9 )=3.0019531
c( 9 )=2.9941406
a( 10 )=2.9990234
b( 10 )=3.0029297
c( 10 )=2.9980469
a( 11 )=2.9985352
b( 11 )=3.0009766
c( 11 )=3.0004883
a( 12 )=2.9995117
b( 12 )=2.9997559
c( 12 )=3.0007324
-------------------------------

wangyangkee · 发表于 2013-6-30 09:24

主题及解答引发胡思乱想：这一个模型，求地球引力场内的水的总量，是否可行？
下面可视为已知条件
1，地表地下水总量稳定、大气中的水总量稳定
2，每年的（多年平均值）降雨量，地域稳定，按纬度、陆地、海洋不同，有水文数据和可以按纬度、陆地、海洋均匀布点测算补齐；
3，每年的（多年平均值）降雨量也就是每年的（多年平均值）
4，地表面积已知，每年的（多年平均值）降雨量也就是每年的（多年平均值）已知，面积加权累计，每年的（多年平均值）降雨量或蒸发量已知；
这个模型抽象，是否可以计算地表地下水总量、大气中的水总量？是否可以抽象出地球引力场内的水的总量？

天山草 · 发表于 2013-6-30 10:36

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/30 10:40am 第 3 次编辑]

楼主的原问题可以扩展到更一般的情况：
 有 A1,A2,……,Ak 共 k 个瓶子，各瓶中装有一些水（有的也可能没有水），各瓶子中的总水量为 L 升。
 从 A1 开始，依次将前一瓶中的水倒 n 分之一给后一瓶中，最后将 Ak 中的水倒 n 分之一给 A1 瓶。这算做一轮操作。
 证明：（1）充分多次操作后，除 A1 瓶中的水最多之外，其余瓶中的水都变得相等了。
 （2）A1 瓶中的水是多少升？

wangyangke · 发表于 2013-6-30 14:44

借用宝楼，奉上冰雹问题，供师长网友休闲娱乐：
各位都见过冰雹，水的结晶体，一般不是在寒冷的冬季、不是极端炎热的夏季，一般发生在极寒极热之间的温和季节；发生频率很小；大小几毫米至1-2公分，极大有接近3公分粒径；卵块状、坚硬；对人畜、树木、庄家有杀伤力。
可是在西藏那曲，海拔4100——4700之间(4700米以上，没有上，没有眼见经历)，公历四、五月份，景象是：大小6-7毫米至2-3公分，极大有3公分以上粒径；一段时间频发；松软而不够坚硬，杀伤力小。
在拉萨（海拔3500——3600），雨雪情形与低海拔平原基本相同。
各位，你能根据你的生活常识、拥有的物理、数学知识，进行敷衍、解说吗？

天山草 · 发表于 2013-6-30 18:18

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/30 06:20pm 第 3 次编辑]

楼主的原问题可以扩展到更一般的情况：
有 A1,A2,……,Ak 共 k 个瓶子，各瓶中装有一些水（有的也可能没有水），各瓶子中的总水量为 L 升。
从 A1 开始，依次将前一瓶中的水倒 n 分之一给后一瓶中，最后将 Ak 中的水倒 n 分之一给 A1 瓶。这算做一轮操作。
证明：
（1）充分多次操作后，除 A1 瓶中的水最多之外，其余瓶中的水都变得相等了，其值为
(n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
（2）A1 瓶中的水是 nL/(1+k(n-1)) 升。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在时添加 -=-=-=-=-
上述推广对乎哉？

luyuanhong · 发表于 2013-7-1 11:44

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/01 11:44am 第 1 次编辑]

题  有 A1,A2,……,Ak 共 k 个瓶子，各瓶中装有一些水（有的也可能没有水），
各瓶子中的总水量为 L 升。
从 A1 开始，依次将前一瓶中的水倒 n 分之一给后一瓶中，最后将 Ak 中的水倒
n 分之一给 A1 瓶。这算做一轮操作。
证明：
（1）充分多次操作后，除 A1 瓶中的水最多之外，其余瓶中的水都变得相等了，
   其值为 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
（2）A1 瓶中的水是 nL/(1+k(n-1)) 升。

证  要证明达到上述状态后，这种状态就可以一直保持下去，那是很容易的：
从 A1 开始，A1 中有 nL/(1+k(n-1)) 升，倒掉 1/n ,还剩 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
A2 原有 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升，倒入 L/(1+k(n-1)) 升，变成 nL/(1+k(n-1)) 升。
轮到 A2 时，A2 中有 nL/(1+k(n-1)) 升，倒掉 1/n ,还剩 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
A3 原有 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升，倒入 L/(1+k(n-1)) 升，变成 nL/(1+k(n-1)) 升。
轮到 A3 时，A3 中有 nL/(1+k(n-1)) 升，倒掉 1/n ,还剩 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
A4 原有 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升，倒入 L/(1+k(n-1)) 升，变成 nL/(1+k(n-1)) 升。
……
总之，操作中轮到某一瓶倒水时，这瓶中总是有 nL/(1+k(n-1)) 升，而其余各瓶中的
水量都是 (n-1)L/(1+k(n-1)) 升。
所以，经过一轮操作后，又轮到 A1 倒水，必定仍然保持原来的状态不变。
问题的困难在于，还要证明：不管初始时各瓶中水量如何，经过充分多次操作后，
必定会趋近于上述状态。

天山草 · 发表于 2013-7-1 12:49

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/01 00:49pm 第 1 次编辑]

   楼上陆教授说得很正确，问题的困难在于如何证明：不管初始时各瓶中水量如何，经过充分多次操作后，必定会趋近于上述状态。
   这个推广问题虽然是本人提出来的，但是我自己也证明不了。我只是通过运行程序发现了这个结论。很有趣，即使 A1 瓶中开始时完全没有水，最终它也会水最多。

天山草 · 发表于 2013-7-1 13:37

演示示例：假定有五个瓶子的情况
程序如下：

   '; 有A1、A2、……,Ak 共 k 个瓶子，开始时各装有一些水（也可能有的没装水）,各瓶子中的总水量为 L 升。
   '; 从 A1 开始，依次将前一瓶中的水倒 n 分之一给后一瓶中，最后将 Ak 中的水倒 n 分之一给 A1 瓶。这算做一轮操作。
   '; 用程序演示：
   ';  （1）充分多次操作后，除 A1 瓶中的水最多之外，其余瓶中的水都变得相等了。
   ';  （2）A1 瓶中的水是多少升？
   '; 答案：A1 瓶中的水是 nL/(1+k(n-1))升，其余各瓶中的水相等，是 L/(k+1/n)升。

   Private Sub form_Click()

   ';假定有 A1、A2、A3、A4、A5 五个瓶子，开始时各装有一些水，单位公升，数量如下：
   A1 = 0: A2 = 2: A3 = 4: A4 = 3: A5 = 1
   n = 2
   k = 32  ';操作次数

   Print "A1("; 0; ")=";: Print Format(A1, "0.0000000")
   Print "A2("; 0; ")=";: Print Format(A2, "0.0000000")
   Print "A3("; 0; ")=";: Print Format(A3, "0.0000000")
   Print "A4("; 0; ")=";: Print Format(A4, "0.0000000")
   Print "A5("; 0; ")=";: Print Format(A5, "0.0000000")
   Print

   For i = 1 To k
   AA1 = A1 / n: A1 = A1 - AA1: A2 = A2 + AA1  ';先将 A1 瓶的水倒出 1/n=AA1 给 A2 瓶
   AA2 = A2 / n: A2 = A2 - AA2: A3 = A3 + AA2  ';再将 A2 瓶的水倒出 1/n=AA2 给 A3 瓶
   AA3 = A3 / n: A3 = A3 - AA3: A4 = A4 + AA3  ';再将 A3 瓶的水倒出 1/n=AA3 给 A4 瓶
   AA4 = A4 / n: A4 = A4 - AA4: A5 = A5 + AA4  ';再将 A4 瓶的水倒出 1/n=AA4 给 A5 瓶
   AA5 = A5 / n: A5 = A5 - AA5: A1 = A1 + AA5  ';再将 A5 瓶的水倒出 1/n=AA5 给 A1 瓶

   Print "A1("; i; ")=";: Print Format(A1, "0.0000000")
   Print "A2("; i; ")=";: Print Format(A2, "0.0000000")
   Print "A3("; i; ")=";: Print Format(A3, "0.0000000")
   Print "A4("; i; ")=";: Print Format(A4, "0.0000000")
   Print "A5("; i; ")=";: Print Format(A5, "0.0000000")
   Print
   Next i
   End Sub

程序运行结果如下：
A1( 0 )=0.0000000  ';A1 瓶中的初始水量
A2( 0 )=2.0000000  ';A2 瓶中的初始水量
A3( 0 )=4.0000000  ';A3 瓶中的初始水量
A4( 0 )=3.0000000  ';A4 瓶中的初始水量
A5( 0 )=1.0000000  ';A5 瓶中的初始水量
A1( 1 )=1.8750000
A2( 1 )=1.0000000
A3( 1 )=2.5000000
A4( 1 )=2.7500000
A5( 1 )=1.8750000
A1( 2 )=2.9960938
A2( 2 )=0.9687500
A3( 2 )=1.7343750
A4( 2 )=2.2421875
A5( 2 )=2.0585938
A1( 3 )=3.4588623
A2( 3 )=1.2333984
A3( 3 )=1.4838867
A4( 3 )=1.8630371
A5( 3 )=1.9608154
A1( 4 )=3.5462608
A2( 4 )=1.4814148
A3( 4 )=1.4826508
A4( 4 )=1.6728439
A5( 4 )=1.8168297
A1( 5 )=3.4884967
A2( 5 )=1.6272726
A3( 5 )=1.5549617
A4( 5 )=1.6139028
A5( 5 )=1.7153662
A1( 6 )=3.4104974
A2( 6 )=1.6857605
A3( 6 )=1.6203611
A4( 6 )=1.6171319
A5( 6 )=1.6662491
A1( 7 )=3.3571395
A2( 7 )=1.6955046
A3( 7 )=1.6579328
A4( 7 )=1.6375324
A5( 7 )=1.6518907
A1( 8 )=3.3320194
A2( 8 )=1.6870372
A3( 8 )=1.6724850
A4( 8 )=1.6550087
A5( 8 )=1.6534497
A1( 9 )=3.3251128
A2( 9 )=1.6765234
A3( 9 )=1.6745042
A4( 9 )=1.6647565
A5( 9 )=1.6591031
A1( 10 )=3.3263026
A2( 10 )=1.6695399
A3( 10 )=1.6720221
A4( 10 )=1.6683893
A5( 10 )=1.6637462
A1( 11 )=3.3294176
A2( 11 )=1.6663456
A3( 11 )=1.6691838
A4( 11 )=1.6687865
A5( 11 )=1.6662664
A1( 12 )=3.3318775
A2( 12 )=1.6655272
A3( 12 )=1.6673555
A4( 12 )=1.6680710
A5( 12 )=1.6671687
A1( 13 )=3.3331769
A2( 13 )=1.6657330
A3( 13 )=1.6665443
A4( 13 )=1.6673076
A5( 13 )=1.6672382
A1( 14 )=3.3336226
A2( 14 )=1.6661607
A3( 14 )=1.6663525
A4( 14 )=1.6668301
A5( 14 )=1.6670341
A1( 15 )=3.3336407
A2( 15 )=1.6664860
A3( 15 )=1.6664193
A4( 15 )=1.6666247
A5( 15 )=1.6668294
A1( 16 )=3.3335253
A2( 16 )=1.6666532
A3( 16 )=1.6665362
A4( 16 )=1.6665804
A5( 16 )=1.6667049
A1( 17 )=3.3334157
A2( 17 )=1.6667079
A3( 17 )=1.6666221
A4( 17 )=1.6666012
A5( 17 )=1.6666531
A1( 18 )=3.3333509
A2( 18 )=1.6667079
A3( 18 )=1.6666650
A4( 18 )=1.6666331
A5( 18 )=1.6666431
A1( 19 )=3.3333249
A2( 19 )=1.6666917
A3( 19 )=1.6666783
A4( 19 )=1.6666557
A5( 19 )=1.6666494
A1( 20 )=3.3333205
A2( 20 )=1.6666771
A3( 20 )=1.6666777
A4( 20 )=1.6666667
A5( 20 )=1.6666581
A1( 21 )=3.3333242
A2( 21 )=1.6666687
A3( 21 )=1.6666732
A4( 21 )=1.6666699
A5( 21 )=1.6666640
A1( 22 )=3.3333289
A2( 22 )=1.6666654
A3( 22 )=1.6666693
A4( 22 )=1.6666696
A5( 22 )=1.6666668
A1( 23 )=3.3333320
A2( 23 )=1.6666649
A3( 23 )=1.6666671
A4( 23 )=1.6666684
A5( 23 )=1.6666676
A1( 24 )=3.3333335
A2( 24 )=1.6666655
A3( 24 )=1.6666663
A4( 24 )=1.6666673
A5( 24 )=1.6666674
A1( 25 )=3.3333338
A2( 25 )=1.6666661
A3( 25 )=1.6666662
A4( 25 )=1.6666668
A5( 25 )=1.6666671
A1( 26 )=3.3333337
A2( 26 )=1.6666665
A3( 26 )=1.6666664
A4( 26 )=1.6666666
A5( 26 )=1.6666668
A1( 27 )=3.3333336
A2( 27 )=1.6666667
A3( 27 )=1.6666665
A4( 27 )=1.6666665
A5( 27 )=1.6666667
A1( 28 )=3.3333334
A2( 28 )=1.6666667
A3( 28 )=1.6666666
A4( 28 )=1.6666666
A5( 28 )=1.6666666
A1( 29 )=3.3333333
A2( 29 )=1.6666667
A3( 29 )=1.6666667
A4( 29 )=1.6666666
A5( 29 )=1.6666666
A1( 30 )=3.3333333
A2( 30 )=1.6666667
A3( 30 )=1.6666667
A4( 30 )=1.6666667
A5( 30 )=1.6666666
A1( 31 )=3.3333333
A2( 31 )=1.6666667
A3( 31 )=1.6666667
A4( 31 )=1.6666667
A5( 31 )=1.6666667
A1( 32 )=3.3333333
A2( 32 )=1.6666667
A3( 32 )=1.6666667
A4( 32 )=1.6666667
A5( 32 )=1.6666667

天山草 · 发表于 2013-7-1 13:48

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/01 01:48pm 第 1 次编辑]

演示示例：同样是上述五个瓶子，各瓶中的初始水量也相同，只是每次倾倒的水量不是 1/2，而是 1/7，结果如下：
A1( 0 )=0.0000000
A2( 0 )=2.0000000
A3( 0 )=4.0000000
A4( 0 )=3.0000000
A5( 0 )=1.0000000
A1( 1 )=0.2165764
A2( 1 )=1.7142857
A3( 1 )=3.6734694
A4( 1 )=3.0962099
A5( 1 )=1.2994586
A1( 2 )=0.4458985
A2( 2 )=1.4959073
A3( 2 )=3.3623891
A4( 2 )=3.1342355
A5( 2 )=1.5615696
A1( 3 )=0.6796965
A2( 3 )=1.3368061
A3( 3 )=3.0730201
A4( 3 )=3.1254904
A5( 3 )=1.7849868
A1( 4 )=0.9109371
A2( 4 )=1.2290619
A3( 4 )=2.8095975
A4( 4 )=3.0803629
A5( 4 )=1.9700405
A1( 5 )=1.1338595
A2( 5 )=1.1650250
A3( 5 )=2.5746586
A4( 5 )=3.0081194
A5( 5 )=2.1183375
A1( 6 )=1.3439484
A2( 6 )=1.1374328
A3( 6 )=2.3693406
A4( 6 )=2.9168653
A5( 6 )=2.2324129
A1( 7 )=1.5378612
A2( 7 )=1.1395075
A3( 7 )=2.1936502
A4( 7 )=2.8135488
A5( 7 )=2.3154323
A1( 8 )=1.7133237
A2( 8 )=1.1650302
A3( 8 )=2.0467045
A4( 8 )=2.7039996
A5( 8 )=2.3709420
…………………………
A1( 158 )=2.2580645
A2( 158 )=1.9354839
A3( 158 )=1.9354839
A4( 158 )=1.9354838
A5( 158 )=1.9354839
A1( 159 )=2.2580645
A2( 159 )=1.9354839
A3( 159 )=1.9354839
A4( 159 )=1.9354838
A5( 159 )=1.9354839
A1( 160 )=2.2580645
A2( 160 )=1.9354839
A3( 160 )=1.9354839
A4( 160 )=1.9354838
A5( 160 )=1.9354839
A1( 161 )=2.2580645
A2( 161 )=1.9354839
A3( 161 )=1.9354839
A4( 161 )=1.9354839
A5( 161 )=1.9354839
A1( 162 )=2.2580645
A2( 162 )=1.9354839
A3( 162 )=1.9354839
A4( 162 )=1.9354839
A5( 162 )=1.9354839

wangyangke · 发表于 2013-7-1 14:04

[这个贴子最后由wangyangke在 2013/07/01 02:21pm 第 1 次编辑]

根据陆老师、天山草老师的的结果，可以看出：
与容器数量无关，稳定态是无限次周期操作的极限结果；
每一次操作周期后的结果都与上一期的结果存在差异，都在向极限结果的趋近中；
极限结果是：这个把分倒的水量看成在容器外的空中，其余的水量按容器均分，，，

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