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发表于 2013-8-15 22:14
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[原创]孪生素数与素数的几率公式
[这个贴子最后由ysr在 2013/08/18 10:07am 第 3 次编辑]
命题:F(N)=(N+1)(N+2)-5，Y1=4F(N)+1，Y2=4F(N)+3,数列Y1,Y2中含无穷素数,
证:
对称性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在M项中,以某项为中心,对称的另1项必能被M整除.(M必须为素数,下同,若M为合数,则在同一周期会有许多对称中心,会有多个合数,因为该周期是由多个小周期组成.)
证明:4*(F(M-A-3))+1=4((M-A-1)(M-A-2)-5)+1=4(M^2-2AM-3M)+4F(A)+1
由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(M-A-3))+1能被M整除,对称性成立.
周期性:若Y1中第A项为合数,能被M整除,则在后面每M项中的第A项为合数,能被M整除,
证明:4*(F(KM-A-3))+1=4((KM-A-1)(KM-A-2)-5)+1=4(K^2*M^2-2KAM-3KM)+4F(A)+1
由于4F(A)+1能被M整除,则4*(F(KM-A-3))+1能被M整除,周期性成立.
非对称性:某奇数M1,在M1项内有且只有1个能被M1整除.
证明:M1为特殊素数,在同一周期内能被M1整除的项位置特殊,对称项是他本身,所以只有1项,如其正好是对称中心.实际我们用的是函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X或(2X+1),与F(N)=N(N+1)-1不同,实际对称中心与X有关系(设M为素数,一般的,对函数F(N)=(N+X)(N+X+1)-2X,若F(A)为合数,则F(M-A-2X-1)必为合数,所以对称中心项为第(M-2X-1)/2项).
据素数M做除数,余数在同一周期的对称中心1侧,没有重复的项,这1规律(可以用数学归纳法证明,略),在同一周期,最多只能有2项能被素数M整除.
所以,在M^2项以内,不能被M1,M2,M3.……M整除的项所占比例为:
(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,(可以用数学归纳法证明)
分子小于分母,分子增大速度小于分母,故极限为0,就是说,当且仅当M为无穷大,比例才为0,实际无穷大是永远不会达到的,古人说"1尺之棰,日取其半,万世不竭",就是这个道理,据素数判定定理,M^2以内不能被M1,M2,M3.……M整除的项,必为素数,所以M^2以内有无穷多素数.
同理可证其中的合数也是无穷多.
由于素数与合数是互补的,所以合数的比例为:
1-(M1-2)(M2-2)……(MX-1)……(M-2)/M1M2M3……MX……M,
极限为1,当且仅当M为无穷大时比例才为1.(有人说素数是有限的,合数是无穷的,达到某值后,再也没有素数了,这是错误的,与极限理论矛盾,与古人研究矛盾.)
所以数列Y1中有无穷素数,同理,Y2中有无穷素数.
证毕! |
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发表于 2013-8-16 11:17