[求助]天山草网友有空吗？

天山草

下面引用由qingjiao在 2013/07/28 08:31pm 发表的内容：
另外请教软件 Mathematica哪里能下载？那个版本比较好？有没有中文或汉化版？

网上能下载，是哪个网站忘记了，版本 7.0，没有中文版的。

天山草

下面引用由qingjiao在 2013/07/28 08:29pm 发表的内容：
还有对应的x的Li(x)值，谢谢！

算这个就不好算了，也算不到 2 的 47 次方那样大。我再想想有没有好的算法。
以前是用 VB 语言算的，我看看 Mathematica 能不能算。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/28 11:39pm 第 2 次编辑]

找到了以前用 VB 的计算程序，原先最多只能算到 2 的 37 次方，今天终于发现了其中的毛病，能算到 2 的 49。

k          Li(2^k)
--------------------------
1            -1
1.5           0
2             1
2.5           2
3             4
3.5           5
4             7
4.5           9
5             12
5.5           16
6             20
6.5           26
7             34
7.5           45
8             59
8.5           77
9             102
9.5           135
10            180
10.5          239
11            320
11.5          428
12            575
12.5          775
13            1046
13.5          1415
14            1918
14.5          2605
15            3543
15.5          4826
16            6582
16.5          8991
17            12295
17.5          16832
18            23068
18.5          31645
19            43452
19.5          59717
20            82136
20.5          113059
21            155738
21.5          214676
22            296112
22.5          408693
23            564410
23.5          779893
24            1078220
24.5          1491424
25            2063983
25.5          2857678
26            3958348
26.5          5485296
27            7604382
27.5          10546260
28            14631776
28.5          20307353
29            28194304
29.5          39157557
30            54401474
30.5          75603449
31            105100229
31.5          146147819
32            203284080
32.5          282834708
33            393619391
33.5          547937536
34            762944444
34.5          1062572924
35            1480216941
35.5          2062480076
36            2874412058
36.5          4006825205
37            5586518341
37.5          7790565604
38            10866289001
38.5          15159179326
39            21151933689
39.5          29519042668
40            41203130439
40.5          57521729481
41            80316641123
41.5          112162891245
42            156661093267
42.5          218846557372
43            305761828028
43.5          427258021337
44            597116514591
44.5          834619218274
45            1166747049035
45.5          1631258226924
46            2280998920876
46.5          3189940170959
47            4461633199430
47.5          6241053005970
----------------------------------

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/29 00:14am 第 2 次编辑]

用 Li(x) 近似 π(x), 结果如下：
 k     Li(2^k)        π(2^k) 准确值        相对误差
-----------------------------------------------------------------
  1  -1                     1
  2   1                     2
  3   4                     4
  4   7                     6
  5   12                    11
  6   20                    18
  7   34                    31
  8   59                    54
  9   102                   97
  10  180                   172
  11  320                   309             3.5598706 %
  12  575                   564             1.9503546 %
  13  1046                  1028            1.7509728 %
  14  1918                  1900            0.9473684 %
  15  3543                  3521            0.6248225 %
  16  6582                  6542            0.6114338 %
  17  12295                 12251           0.3591544 %
  18  23068                 23000           0.2956522 %
  19  43452                 43390           0.1428901 %
  20  82136                 82025           0.1353246 %
  21  155738                155611          0.0816138 %
  22  296112                295947          0.0557532 %
  23  564410                564163          0.0437817 %
  24  1078220               1077871         0.0323786 %
  25  2063983               2063689         0.0142463 %
  26  3958348               3957809         0.0136186 %
  27  7604382               7603553         0.0109028 %
  28  14631776              14630843        0.0063769 %
  29  28194304              28192750        0.0055121 %
  30  54401474              54400028        0.0026581 %
  31  105100229             105097565       0.0025348 %
  32  203284080             203280221       0.0018984 %
  33  393619391             393615806       0.0009108 %
  34  762944444             762939111       0.0006990 %
  35  1480216941            1480206279      0.0007203 %
  36  2874412058            2874398515      0.0004712 %
  37  5586518341            5586502348      0.0002863 %
  38  10866289001           10866266172     0.0002101 %
  39  21151933689           21151907950     0.0001217 %
  40  41203130439           41203088796     0.0001011 %
  41  80316641123           80316571436     0.0000868 %
  42  156661093267          156661034233    0.0000377 %
  43  305761828028          305761713237    0.0000375 %
  44  597116514591          597116381732    0.0000223 %
  45  1166747049035         1166746786182   0.0000225 %
  46  2280998920876         2280998753949   0.0000073 %
  47  4461633199430         4461632979717   0.0000049 %
--------------------------------------------------------
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
上面的数据说明，程序估计没有太大问题。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/29 00:17am 第 1 次编辑]

请楼主注意，改进了程序，已经能够算到 2 的 47 次方了，新数据在 13 楼。

qingjiao

这是原2^36的图形：

qingjiao

如果你和我都没有算错的话，我的一个猜想被否定了。当x很大时J(x)-Li(x)的变化幅度明显增大，远远超出√x/logx的范围。以下图形曲线的意义和上图相同。

qingjiao

上图最高点的值为15.52√x/logx。如果我们不用√x/logx，改用√x比较，
15.52√x/log2^45=(15.52/45log2)√x=0.4975√x。
估计J(x)-Li(x)至少达到√x数量级，也即π(x)-Li(x)至少达到√x数量级。
素数分布还是比我想象的要复杂得多。记得去年有个李海南仅仅算了最多几十亿以内的数据就说什么他那个抄袭Li(x)的函数误差不超过√x/logx的一半，真是井底之蛙。

qingjiao

天山草网友，现在我怀疑这个结果是因为你的J(x)值太粗糙，只有四五位小数，这样当x值很大时导致的误差就很大。不知你的软件能输出最多多少位？我看至少得10位以上才行。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/29 08:51am 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2013/07/29 01:26am 发表的内容：
天山草网友，现在我怀疑这个结果是因为你的J(x)值太粗糙，只有四五位小数，这样当x值很大时导致的误差就很大。不知你的软件能输出最多多少位？我看至少得10位以上才行。

哈哈，这个问题我也想到了。今天早上算了 30 位有效数字的 J(x)，见下表：
指数 m                   J(x)
---------------------------------------------------
1                  1.00000000000000000000000000000
1.5                1.00000000000000000000000000000
2                  2.50000000000000000000000000000
2.5                3.50000000000000000000000000000
3                  4.83333333333333333333333333333
3.5                6.33333333333333333333333333333
4                  7.58333333333333333333333333333
4.5                9.58333333333333333333333333333
5                 13.6166666666666666666666666667
5.5               16.6166666666666666666666666667
6                 21.2833333333333333333333333333
6.5               27.5333333333333333333333333333
7                 35.5095238095238095238095238095
7.5               47.0095238095238095238095238095
8                 59.3345238095238095238095238095
8.5               78.6678571428571428571428571429
9                103.778968253968253968253968254
9.5              135.528968253968253968253968254
10               180.795634920634920634920634921
10.5             238.628968253968253968253968254
11               319.719877344877344877344877345
11.5             430.446067821067821067821067821
12               577.729401154401154401154401154
12.5             775.562734487734487734487734488
13              1045.59799089799089799089799090
13.5            1412.59799089799089799089799090
14              1921.91941946941946941946941947
14.5            2609.73053058053058053058053058
15              3540.71386391386391386391386391
15.5            4823.21386391386391386391386391
16              6577.20969724719724719724719725
16.5            8992.26922105672105672105672106
17             12297.0780445861328214269390740
17.5           16828.7022870103752456693633164
18             23059.9245092325974678915855386
18.5           31646.8411758992641345582522053
19             43467.3854741448781696459715036
19.5           59719.8854741448781696459715036
20             82126.4949979544019791697810274
20.5          113073.528331287735312503114361
21            155743.513984523388548156350014
21.5          214669.463984523388548156350014
22            296122.259439068843093610895468
22.5          408696.039200973604998372800230
23            564396.866012567807896923524868
23.5          779904.466012567807896923524868
24           1078181.24101256780789692352487
24.5         1491398.66720304399837311400106
25           2064102.74053637733170644733439
25.5         2857748.33081415510948422511217
26           3958362.43637526067058978621773
26.5         5485241.05304192733725645288440
27           7604296.43223582711939152913712
27.5        10546449.9655691604527248624704
28          14631848.1596167795003439100895
28.5        20307534.1762834461670105767562
29          28194107.4425122365337319779603
29.5        39157058.8091789032003986446270
30          54401861.8103693793908748351032
30.5        75603707.5565907019279868458994
31         105100053.246424524019873453915
31.5       146147218.190868968464317898359
32         203283602.898309444654794088836
32.5       282834519.014976111321460755502
33         393620413.191707713053062487104
33.5       547937498.667104538449887883929
34         762945393.888182969822436903537
34.5      1062574643.64770677934624642735
35        1480214855.48125656289602997713
35.5      2062476627.46458989622936331046
36        2874410243.35903434067380775491
36.5      4006825953.59729282132359275252
37        5586518412.21876429279506422399
37.5      7790564438.48126429279506422399
38       10866288199.4432943679830341488
38.5     15159170290.5869812366699028357
39       21151938166.6638127385014046672
39.5     29519050515.0940648393417408016
40       41203130296.8007315060084074683
40.5     57521736206.9102553155322169921
41       80316628506.6199990947881913700
41.5    112162902599.067984442773539355
42      156661112757.098539998329094911
42.5    218846536098.041397141186237768
43      305761821368.276689992176763177
43.5    427258048090.820737611224382225
44      597116530770.071242661729432730
44.5    834619198961.844112335914896389
45     1166746991726.80063497993754041
45.5   1631258236225.26015878946134994
46     2280999037616.72471401185015553
46.5   3189940243422.81757115470729839
47     4461633371474.50991557151980031
47.5   6241052984958.32896319056741936
--------------------------------------------------

这个软件算多少位都可以，成千上万位也不在话下。