重新整理证明：无理数在数轴上不存在的逻辑证明

malingxiao1984

感谢楼主的问题，让我对不同进制表示实数的认识又加深了，同时发现了我自己在3#和4#中对某些观点的错误认识。

APB先生

你的图直观的说明了闭区间 [0,1] 的点与数是一一对应的； [0,1] 的点是可列的，[0,1] 的数是可数的。

门外汉

APB先生 发表于 2018-3-27 08:17
你的图直观的说明了闭区间 [0,1] 的点与数是一一对应的； [0,1] 的点是可列的，[0,1] 的数是可数的。

请问：有什么反对意见吗？

门外汉

elim 发表于 2018-3-26 13:36
你的过程，如果不按照集合论的解读，是没完没了的，所以没有最后，也没有区间长度为零无法填点的问题。一旦 ...

请问老师：1/2，1/4，1/8，1/16……是永远不能等于0呢？还是有条件的等于0？
为什么提这个问题呢？因为在辩论中，这个问题总是飘乎不定的，一会能等于0，一会又不能等于0了。

门外汉

malingxiao1984 发表于 2018-3-27 02:15
思考了一下，构造这样的数也不复杂，其实就是将10进制数用2进制数表示。
你的问题就是：二进制是不是可 ...

因为我不懂二进制数学，所以对你的回复无法做出正确或错误的判断，但我想，我出的就是一个十进制下的问题，所以还是不要转换成二进制了，就用十进制来讨论，如何？

malingxiao1984

门外汉 发表于 2018-3-27 19:56
因为我不懂二进制数学，所以对你的回复无法做出正确或错误的判断，但我想，我出的就是一个十进制下的问题 ...

1⃣有一点必须要说明：无限和有限有着本质区别，有限个有理数的和还是有理数，但无限个有理数的和可能是无理数，甚至是超越数，你的论证依赖于无限二等分这个过程，与有限次二等分有着本质区别。
2⃣我说的二进制仅仅是为了构造出你这个方法会产生的无理数，而不是把10进制化为二进制。
3⃣如果你不承认无限个有理数相加会得到无理数，那我也没什么好说的了。

elim

门外汉 发表于 2018-3-27 04:53
请问老师：1/2，1/4，1/8，1/16……是永远不能等于0呢？还是有条件的等于0？
为什么提这个问题呢？因为 ...

这个序列的每一项都不等于0， 1/2，1/4，1/8，1/16… 永远都是 1/2，1/4，1/8，1/16… 你到底在问什么？

phlsphr

门外汉 发表于 2018-3-27 19:53
请问老师：1/2，1/4，1/8，1/16……是永远不能等于0呢？还是有条件的等于0？
为什么提这个问题呢？因为 ...

1/2,1/4,1/8,...的极限是0,，但极限不在序列中。
1/2,1/4,1/8,...,0,这个序列的第一项是1/2，第二项是1/4,...,第ω项则是0。ω是最小的超穷序数。
1/2,1/4,1/8,...的每一项都大于0，但这无穷个数的平均值等于0。
你的证明是很荒谬的。
你列出了1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,...,这只是[0,1]的一部分，那其它的有理数和无理数在哪里？在无穷远的地方。所以是不可列的。对于[0,1]中的任意一个实数，都可以在Q1中选出一个无穷序列，使其极限等于这个实数。

任在深

phlsphr 发表于 2018-3-28 15:19
1/2,1/4,1/8,...的极限是0,，但极限不在序列中。
1/2,1/4,1/8,...,0,这个序列的第一项是1/2，第二项是 ...

显然你的结论就不是纯粹数学的理论了？！是谬论！！

门外汉

phlsphr 发表于 2018-3-28 07:19
1/2,1/4,1/8,...的极限是0,，但极限不在序列中。
1/2,1/4,1/8,...,0,这个序列的第一项是1/2，第二项是 ...

请问老师，为什么你不看证明过程呢？