[求助]一个排列组合问题，解答有奖！

whjman

反驳：
   “第三次开始，保持4组不变各为三个数：
　　1,2,3     10,11,12     19,20,21      28,29,30”
只要你保持不变，就有问题：包含123的小组之间，除123之外的6个数字不能有一个相同，如果有一个相同，就产生了4个数字相同的小组，所以只能分5次。

zhaolu48

  请看我在8楼说的：
  “第二次为：
　　1,2,3,13,14,22,23,31,32,    4,5,10,11,12,24,25,33,34
   6,7,15,16,19,20,21,35,36    8,9,17,18,24,25,28,29,30,”
第一组，除1,2,3外，可把其余6个数13,14,22,23,31,32,分为三组：
　　13,14　　22,23　　31,32
　　13,14下一次不能分到第二组，因为第二组10,11,12不动，那么它只能分到第三或第四组，22,23,不能分到第三组，31,32,不能分到第四组。
　　对第二大组10,11,12,不动，其余6个数可分三组为4,5　24,25  33,34下一次每组也都有两个大组供选择。第三、第四大组也是如此。把每一小组都有两个大组供选择的分组类型称为A型。
　　A型的第i(i=1,2,3,4)大组，的其余三个小组，下一次都被分到非i组中去，因此下一次的每大组，与前一次的每大组只有两个或三个数字相同。
　　把第二次分组中，每大组必动的6个数都按A型分小组，因此这种分法称为
　　对于AAAA型是存在一点问题：不是数大了，而是数小了。
　　可以这样做：
　　每大组的三个小组取一小组(C(3,1)=3)，四个大组，取出一小组，则四小组(每一个四个小组)的取法共有(C(3,1))^4=81,下一次分组每小组只有两个大组供选择，因此这4小组的分法共有2^4*3^4=1296种。
　　每一大组还剩两小组可动，因此第二个四个小组的取法是(C(2,1))^4=16,每个小组仍有两个大组供选择，因此第二个四小组的分法有16*16=256种
　　之后每一大组只剩一小组可动了，但等每个小组仍有两个大组供选择，因此分法为16种。
　　取三次四个小组，是“分步”，即满足乘法原理：
　　从而AAAA型共有1296*256*16=5308416种，
　　而且这1296种的共同特点是每一次分组，第一组与第一组相同的数字是1,2,3，第二组与第二相同的数字都是10,11,12，第三组与第三组相同的数字是19,20,21，第四组与第四组相同的数字是28,29,30，而大组编号不同的组只有两个数字相同。
　　
　　今天就讨论到这里，明天再讨论AAAB、AABB，ABBB，BBBB

zhaolu48

　　强调一次。
　　1,2,3始终在第一大组，13,14,22,23,31,32这6个数都被分到其它三个大组中了，而且分法中，也使4,5,6,7,8,9不会出现在这一大组中，如第二大组中的4,5小组，只有两大组：第三、第四大组供选择。第一大组中的13,14小组也只有第三、第四组供选择。这是指A型分组。
　　对于B型分小组，每个小组只有一个大组可选。因为两个数来自第一次分组中的两个大组，而双从第二次分组中的第三个大组分出的小组(两个数字)，因此它只能放入第四个大组中去。
　　因此第i次的第一个大组与非i次的第一个大组相同的数字不会超过3个，也不会低于两个。

whjman

“第二次为：
　　1,2,3,13,14,22,23,31,32,    4,5,10,11,12,24,25,33,34
  6,7,15,16,19,20,21,35,36    8,9,17,18,24,25,28,29,30,”
第一组，除1,2,3外，可把其余6个数13,14,22,23,31,32,分为三组：
　　13,14　　22,23　　31,32
　　13,14下一次不能分到第二组，因为第二组10,11,12不动，那么它只能分到第三或第四组，22,23,不能分到第三组，31,32,不能分到第四组。”
我想问一下：
      1、包含1、2、3三个数字的组有多少个？

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/10/10 08:14am 第 1 次编辑]

“包含1、2、3三个数字的组有多少个？”
有多少次未作其它变换的分组次数，第一组都含1,2,3三个数字。
第一组中有1,2,3，其它三组就不会有1,2,3。
即使是变换后，也是在第一组中必有1,2,3中的两个数字。
即如前所述那样的固定第一、第二次的分组方法后，每一次分组的第一组都至少含有1,2,3三个数字中的两个。
我在12楼讨论的方法仍然有误。因为想的还不够细致。
尽管每小组有两个大组供选择，但四个大组各取一小组，放回四组的方法是2^2=4，而不是2^4=16，再有，在每大组中不是选任意一组，而是相当于选一个相对固定的一小组，因此选第一个四小组的方法中，不含因数C(3,1).
因此三大步的方法都为4，因此AAAA分组方法总数为，4^3=64。
即在AAAA型方法里共有64个分组，中的第一组含有1,2,3。
当然还要乘变换因数
3^4*(4!-1)再加1，即64*(81*23+1)=119296。
关于AAAB　AABA　ABAA　BAAA
　　AABB　ABAB　ABBA　BABA　BAAB　BBAA
　　ABBB　BABB　BBAB　BBBA
　　BBBB
四大类15小类的分组次数，今天没有时间，明天再论吧。
总而言之，这个问题是很有挑战性。

whjman

    我想应该有一个公式可以直接算出，前提是要有离散数学知识，组合数学知识，代数知识。

zhaolu48

“我想应该有一个公式可以直接算出”，
　　依我看可能性几乎为零。
　　因为它不是一个一般性问题，而是一个很复杂的个性问题。

whjman

我的头都想炸了，现在还没有结果啊！ 最新结论：相同为2或3的次数n<<3*84+1=253。 多么希望n大于60次啊！ 要不然还要考虑相同数字为1或2或3的情况！ 急！急！急！

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/10/14 10:13am 第 1 次编辑]

　　n的最大值为(任意两次分组，其中一次分法的任意一组与另一次分法的任意一组有两个或三个数字相同)
　　4*(81*23+1)=7456
其中有1,2,3数字只有4组(当然要第一次与第二次分组的相对应的组都有1,2,3)。
即任意三个数字出现在同一组中最多有四次(第三次分法的不同，可有三次、四次之分)。
具体方法容后详细论证。

zhaolu48

　　下面只就“要求第i(i取1到n)次中的任何一组，与非第i次中的任何一组相同的数字个数为2或者3个,问n最大为多少？”做详细解答：
　　第一次分组：(按大小顺序分组,为C(36,9)C(27,9)C(18,9)C(9,9)种分组法之一)
　　1,2,3,4,5,6,7,8,9                 10,11,12,13,14,15,16,17,18
　　19,20,21,22,23,24,25,26,27,       28,29,30,31,32,33,34,35,36
　　第二次分组第一次分组中的每组的前三个数字不动，其余6个按大小分到其它三组)
　　1,2,3,13,14,22,23,31,32           10,11,12,4,5,24,25,33,34
　　19,20,21,6,7,15,16,35,36          28,29,30,8,9,17,18,26,27
　　第三次分组:　仍保持第二次分组中的前三个数不动，其余6个数字按原来顺序分成三小组，如第一组中的13,14   22,23    31,32，　13,14只能分到第三组或第四组,不妨分到第三组,那么31,32只能分到第二组, 22,23只能分到第四组,具体分法是:
　　1,2,3,17,18,24,25,35,36            10,11,12,6,7,26,27,31,32
　　19,20,21,8,9,13,14,33,34           28,29,30,4,5,15,16,22,23
　　第四次分组,仍保持第三次分组中的前三个数字不动.第一组中的17,18只能去第三组,24,25只能去第四组,35,36只能去第二组.其它三组的其余6个数字也是如此.具体分组为:
　　1,2,3,15,16,26,27,33,34              10,11,12,8,9,22,23,35,36
　　19,20,21,4,5,17,18,31,32             28,29,30,6,7,13,14,24,25
　　设a(1),a(2),a(3)   b(1),b(2),b(3)  c(1),c(2),c(3)  d(1),d(2),d(3)∈{1,2,3,…,36},那么无论采用什么分组方法,始终保持a(1),a(2),a(3)   b(1),b(2),b(3)  c(1),c(2),c(3)  d(1),d(2),d(3)在一个组内不动,那么最多只能有四次分组(a(1)表示1为a的下标).
　　上面的四次分组方法,就是保持1,2,3  10,11,12  19,20,21  28,29,30分别在第一,第二,第三,第四组内不动.
　　下面对第一次分组中的四个组进行变换:
　　第一步:在第一组中的1,2,3中任取一个数字a,则a有3种取法.
　　第二步:在第二组中的10,11,12中任取一个数字b,则b有3种取法.
　　第三步:在第三组中的19,20,21中任取一个数字c,则c有3种取法.
　　第四步:在第四组中的28,29,30中任取一个数字d,则d有3种取法.
　　第五步:取a,b,c,d的任意一个排列e,f,g,h,则这样的排列共有4!=24个,其中有23个排列与排列a,b,c,d不同.把e放回到第一组,f放回到第二组,g放回到第三组,h放回到第四组.则新的四组就可构成一次新的分组.从而不同于第一次分组的新的分组次数为3^4*23,连同第一次分组,即第一次分组可演变为3^4*23+1=1864次不同的分组方法.
　　同理,第二次分组,第三次分组,第四次分组也各可以演变为1864次分组方法.因此使在各次分组中,任意一次分组中的任意一组都与另一次分组中的任意一组有两个或三个数字相同的分组次数n:
　　n的最大值为:1864*4=7456.
　　对于一次分组中的任意一组与另一次分组中的任意一组可有1个,2个或3个数字相同,就不再讨论了.