圆（球）的有关问题

王守恩

luyuanhong 发表于 2018-4-11 18:57
边长为 a 的 n 维正方体，它的 n 维体积是 a^n 。

它有 2n 个 n-1 维表面正方体，所以它的 n-1 维表面 ...

有意思！ 那么对于 n 维的正方体，有类似的公式吗？
这道题我还真答不上来，谢谢陆老师！使我长见不少。
下面这些数据是不是对的，我也没底，请陆老师指正！

3维空间正方体有6个面，8个顶点，12条棱。
4维空间正方体有24个面，16个顶点，32条棱。
5维空间正方体有80个面，32个顶点，80条棱。
6维空间正方体有240个面，64个顶点，192条棱。
7维空间正方体有672个面，128个顶点，448条棱。
8维空间正方体有1792个面，256个顶点，1024条棱。
9维空间正方体有4608个面，512个顶点，2304条棱。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

波斯猫猫

S=πr＾2 ⇒ S′= l =2πr   
V=(4/3)πr＾3  ⇒ V′= s =4πr＾2
在二维空间，平面图形的面积与周长的关系，在三维空间，几何体的体积与表面积的关系中，仅有这两个命题如此和谐，这是否与圆周（球面）的“曲率的一致性”有关？

luyuanhong

波斯猫猫 发表于 2018-4-12 20:58
S=πr＾2 ⇒ S′= l =2πr   
V=(4/3)πr＾3  ⇒ V′= s =4πr＾2
在二维空间，平面图形的面积 ...

在前面第 6 楼中，我证明了一个 “关系式二” ，就是说：

对于任何 n 维的球，表面积 S 总是等于体积 V 关于半径 r 的导数。

波斯猫猫

S=πr＾2 ⇒ S′= l =2πr   
V=(4/3)πr＾3  ⇒ V′= s =4πr＾2
在二维空间，平面图形（非圆）的面积与周长的关系，在三维空间，几何体（非球）的体积与表面积的关系中，如此和谐的仅有这两个命题。

王守恩

luyuanhong 发表于 2018-4-12 23:56
在前面第 6 楼中，我证明了一个 “关系式二” ，就是说：

对于任何 n 维的球，表面积 S 总是等于体 ...

在前面第 6 楼中，陆老师已经证明了一个 “关系式二” ，就是说：

对于任何 n 维的球，表面积 S 总是等于体积 V 关于半径 r 的导数。