【讨论】将 3x+1 问题推广成 qx+1 问题，结果如何？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 07:28pm 第 1 次编辑]


    对于 19x + 1 问题，确实在 1 万以内没有“非平凡解”，但是范围扩大到 10 万后，发现有 6 个非平凡解，它们是：
13797，
23237，
27594，
46474，
55188，
92948。
例如，对于 13797，运行 19 次即可收敛到 1。
x = 13797;
s = 0;
While[x != 1, Print[s++, "-----", x];
If[EvenQ[x], x = x/2, x = 19 x + 1]]; Print[s, "-----", x]
0-----13797
1-----262144
2-----131072
3-----65536
4-----32768
5-----16384
6-----8192
7-----4096
8-----2048
9-----1024
10-----512
11-----256
12-----128
13-----64
14-----32
15-----16
16-----8
17-----4
18-----2
19-----1

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 08:36pm 第 3 次编辑]


对于 q = 25， 在 10 万以内有 3 个非平凡解：
41943，
53687，
83886。
对于 q = 27， 在 10 万以内有 4 个非平凡解：
9709，
19418，
38836，
77672。
然而，对于 q = 29， 在 100 万以内没有非平凡解。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/10 08:37pm 第 4 次编辑]


对于 q = 29， 在 100 万以内没有非平凡解。还需要继续搜索下去……

技术员

一定有解的，我的预测。

技术员

我觉得猜想应该是这样，对于qx+1问题，收敛为1的正整数x有无穷多个。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/11 06:51am 第 1 次编辑]

下面引用由技术员在 2013/09/10 09:02pm 发表的内容：
一定有解的，我的预测。

您的预测正确！对于 q=29，在接近 1000 万的地方，找到了一个非平凡解 9256395。
x = 9256395;
s = 0;
While[x != 1, Print[s++, "-----", x];
If[EvenQ[x], x = x/2, x = 29 x + 1]]; Print[s, "-----", x]
0-----9256395
1-----268435456  【此数是 2 的 28 次方幂】
2-----134217728
3-----67108864
4-----33554432
5-----16777216
6-----8388608
7-----4194304
8-----2097152
9-----1048576
10-----524288
11-----262144
12-----131072
13-----65536
14-----32768
15-----16384
16-----8192
17-----4096
18-----2048
19-----1024
20-----512
21-----256
22-----128
23-----64
24-----32
25-----16
26-----8
27-----4
28-----2
29-----1

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/11 09:22am 第 1 次编辑]


要找到那个非平凡解，归结于求下面方程的正整数解：
2^n = 29 x + 1
当 n = 28 可以得到 x 的最小解是 x = 9256395。
有无穷多组 n，x 满足上面这个方程，见下楼：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/11 09:33am 第 2 次编辑]

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/12 09:08am 第 3 次编辑]


对于 q = 1，3，5，7，……，199 而言，“最小的”或是“比较小的”【下表中有些不是最小的】非平凡解 x 如下：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/09/11 11:48am 第 2 次编辑]


看来，对于任何大于 3 的奇数 q，都会有无穷多的非平凡解。只是这些解相对于全体自然而言，那简直是凤毛麟角，少之又少。例如，对于 q = 197 ，最小的非平凡解有 57 位数：509815369371507067113566653661536358668211609702662701555。
接下来的非平凡解是（有 116 位数）：
51202607036939018671794082566684086975129001285477940847689152850187333875651197545797219092642326924093892210754035。