设 x 为实数，满足 3^x+4^x=5^x ，求 x

luyucheng1 · 发表于 2013-9-20 18:47

这道题很简单，在x<2时，方程左边始终大于右边；在x>2时，方程左边始终小于右边；因此有唯一解 x=2 。也可以看出，3、4和5正好符合勾股数，作为共同的待定指数，除x=2外，找不出任何x能使3、4、5有共同倍数的值（3、4、5共同倍数的值符合勾股数）。

moranhuishou · 发表于 2013-9-20 18:51

更更一般些，所有的
a^x+b^x=c^x (a,b,c为整数)
只有两个解x=1，2。

ataorj · 发表于 2013-9-20 18:56

x趋于-∞时,也满足3^x+4^x=5^x,大家视而不见吗?

wangyangkee · 发表于 2013-9-20 19:16

moranhuishou · 发表于 2013-9-20 19:19

下面引用由moranhuishou在 2013/09/20 06:51pm 发表的内容：
更更一般些，所有的
a^x+b^x=c^x (a,b,c为整数)
只有两个解x=1，2。

这就是一般结果——很简单，根本无需繁琐。

luyucheng1 · 发表于 2013-9-20 20:50

三个数据是3、4、5具有相同倍数的，都符合勾股数。如倍数为n，有：(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2 永远成立。

fungarwai · 发表于 2013-9-20 21:43

当数学脱离了现实
1(0)=2(0)
1=2

任道远 · 发表于 2013-9-20 23:18

下面引用由luyuanhong在 2013/09/20 04:28pm 发表的内容：
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：
設 x 為實數滿足 3^x+4^x=5^x , 求 x

求;
   因为：
      (1) Aˆx+Bˆx=Cˆx， x=1，2，3.
   而：
         A=(2MN)ˆ2/x
         B=(M²-N²)ˆ2/x
         C=(M²+N²)ˆ2/x，  x=1，2，3，4，,,
   所以：当仅当：
      （2）3ˆx+4ˆx=5ˆx 时：
   即： 2/x=1，
         x=2.
   因此求得：x=2.
               欢迎探讨！批评指正！！

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设 x 为实数，满足 3^x+4^x=5^x ，求 x