无可挑剔的四色定理证明

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zengyong

XXX先生，谢谢您的关注，欢迎您的评论！

您还没理解我的迹的定义。我没有提“二色链”的概念。

请您先了解一下我有关的 定义：
1）双迹法定义：在三角形结构连通平面图中把四种颜色的顶点分为两大双色集合W和H , 由a、b两色（或c、b两色）的顶点和它们之间的边所构成的子图称之为迹。这里，由a、b两色组成的迹称之为A-B迹，我们用符号jn1表示;符号jn2则表示有n个顶点 的C-D迹（含c、d两色）。利用迹的优越性质对平面图进行正常4-着色的方法就叫做双迹法。
2）双迹图定义：由双迹和色顶点以及公共边组成的三角形结构连通平面图就叫做双迹图。由无奇圈的迹组成的双迹图也叫做标准双迹图。


我的基本定义是，平面图顶点的颜色分a、b、c和d四种颜色。四种颜色的顶点组成4个色独立集分别是
A、B、C、D。
迹的定义是：由a、b两色组成的迹称之为A-B迹，我们用符号jn1表示;符号jn2则表示有n个顶点 的C-D迹（含c、d两色）。

所以我的迹并不是仅有三个顶点，它可以是无穷多的顶点（即它是具有代表性的）。

注意:”A-B迹“仅仅是它的称呼（意思是A-B迹是由a色顶点的集合和b 色顶点的集合还有它们之间的边组成的一个子图）所以A-B仅仅是区分迹的一个符号，而不是A色和B色顶点的邻接。
例如：A-B迹的子图可能出现的形式（仅用颜色表示）有：a-b, a-b-a,a-b-a-b,...;或b-a,b-a-b,b-a-b-a,...。它们永远是a色和b色顶点相间隔出现。
    同理，C-D迹的子图可能出现的形式（仅用颜色表示）有：c-d, c-d-c,c-d-c-d,...;或d-c,d-c-d,d-c-d-c,...。

因为A-B迹和C-D迹已经包括所有四色顶点，同时以上已经包括所有的平面连通图将顶点分A-B迹和C-D迹后可能出现的情况（以后有定理证明）。换句话说，使用A-B迹和C-D迹的分迹方法，已经可以很好的将平面连通图变为一个我需要的标准双迹图（为下一步的 证明做好准备）。

可能您还会问，也可以有 A-C迹和B-C迹,...。 是的，存在这些形式，但那些不是我需要的和证明必定不可避免的形式。

或者从我们以往用链的概念来考虑， 是否还 出现一个颜色的顶点与四种颜色的 顶点邻接的 情况。当我们将平面连通图分成A-B迹和C-D迹互相间隔的
分布图，因为A-B迹和C-D迹是互相间隔的，所以不存在A-B迹的顶点与C-D迹的顶点产生颜色冲突；同时不会有一条A-B迹的 顶点和另一条A-B迹的 顶点邻接的情况；当所有的迹不存在偶圈的情况下，因为迹
的色 数是2，所以用两种颜色可以满足每一条迹的顶点正常2-着色。而当我们规划分迹不正确的过程中 ，有时是会遇到迹存在奇圈的情况，而不能正常着色的。但这些情况我们在 以后的 证明中会讨论并加以解决的。

这样的 答复您是否赞同？

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zengyong

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zengyong

其实雷明先生2012年6月7日在博客中已对某书作了详细的评论。我基本上同意他的观点。其中有：

“1、文不对题一
------，书的内容主要应该说的是数学中的四色问题，但其书的内容却主要说的是地图的着色问题。严格的说，数学中的四色问题与地理学中的地图四色问是有区别的。
数学中的四色问题是对平面图的顶点着色的问题，猜测是：对于任何平面图最多四种颜色就够用了；而地理学中的地图四色问题则是对地图（地图也是一种平面图，但只是一种所有顶点的度都是3的3—正则平面图，这在徐先生的书中被叫做“三次平面图”，但它并不是任意的平面图）的面的染色问题，猜测是：对于任何地图最多四种颜色也就够用了。数学中的平面图四色问题是在地理学中的地图四色问题的基础上发展而来的，它比地图四色问题所研究的面更大更宽，地理学中的地图四色问题只是数学中的平面图四色问题的一个子集合。“
我的补充：图论中的四色定理的证明中的平面图是任意复杂的平面图，它的证明要比证明地图的4色着色和三侧平面图的证明要复杂得多。所以，你的四色问题证明是没有意义的（或者说是没有价值的）。
雷明还说：“6、X先生对猜测证明的方法是错误的。
平面图的面着色就等于对其对偶图的顶点着色，三次平面图的对偶图则是一个极大图，其每一个面均是三边形面。如果极大图是可4—着色的，那么其他任何非极大图当然也就是可4—着色的了，因为在相同顶点数的图中，极大图的顶点间的相邻关系是最复杂的，也即其边是最多的。但是徐先生证明三次平面图是4—可面着色的方法却是不能令人满意的。即就是因为三次平面图是3—边着色的，凭这就能说明三次平面图也是4—面可着色的吗，这能推广到任意平面图都是4—可着色的吗。四色问题说的是任意平面图着色的色数都一定不大于4，证明时就应首先是给一个任意的图（并不是具体的图），然后再说明其是否可以可4—着色。然而徐先生却是先给出一个简单的即面数较少的色数是4的三次平面图（其对偶图也就是顶点数较少的极大图），在此基础上，每增加一个面（在对偶图中则是每增加一个顶点）通过对面的颜色交换，总能给该面着上已用过的四种颜色之一（在对偶图中则是直接就可以给该顶点着上不同于与该顶点所相邻的三个顶点的颜色的另一种颜色），这样的无限进行下去，所用颜色数总是不会超过4，所以就认为自已证明了四色猜测是正确的。“

我的补充：
你并没有看到或者遇到这样的情况：在一幅平面连通图，尽管前面很多的小结构子图的正常4-着色是没有问题的，但到最后却遇到两个顶点的颜色无法正常4-着色。这是绝大多数人对一幅给定的较复杂的平面图不能正常4-着色遇到的尴尬问题，Heawood图长时间被看作是四色 定理的“反例”，就是一个例子，可它的顶点数还不算很多。（因为他没看到真正影响顶点颜色冲突的根本原因或者说是链，这种链，可能是无限长；颜色冲突发生在无穷远的地方。）

我的观点是：能证明四色定理的人必须也是能对任意复杂的平面连通 图正常4-着色的人。否则，它的证明理论是空头理论，是不实际的。当然，能对任意复杂的平面连通 图正常4-着色的人，不一定能证明四 色定理，因为后者需要写出更严谨的专业的逻辑分析、判断陈述语句（简单说是符合要求的专业论文）。说不好听，目前我在本论坛，只见有两人（雷明和我）能在本论坛出现的复杂平面连通图给与正常4-着色的答案。（当然，也许还大有人在，可惜，他们都不露一手。失敬了。）
如果说X先生，您的书都出了，理应也是一位作图的高手，你能在本帖露一手给我们观赏学习吗？这样，我也能看到你的城府水有多深了。

另外，我现在对四色定理问题可以说是很了解了。我现在的四色定理证明仅用不到两三页，就把难题证明了。所以，我的观点是，对
四色定理的证明要使用“书“的 形式来完成，我是不看好的。除非是介绍从四色猜想的问题提出，直到现在有一定水平的证明论文的综述文章才可以写成书的形式。那又不叫”四色问题的证明“了。一个四色定理的证明，如果从什么叫平面连通图和它的的结构说到图顶点的着色最多40、50页也足够了。用到90多页纸，可能有2、30页的“废话”。

    比方说，高考数学答卷给了不多于5张纸（现在真正是多少张我也不清楚，不会多于5张吧）。有位学生要求监考老师给他20张纸（才能完成）。不管他的答卷如何，估计是不及格的了。

四色定理的证明也一样，如果非要几十张纸才能完成证明。估计他是没有抓到证明的最关键和实质的东西，只不过是夸夸其谈而已。我在网上搜到一本书的目录，有关图顶点着色的关键词都没见到两三个，可想之内容会是很理想的吗。

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雷明85639720

增勇朋友：网好难说清，还是就此停下，一后再辩论。你先与未知数去辩论吧。

zengyong

XXX先生：
      不知你是否认真看清楚我发的帖。我说我基本赞同雷明先生说的几个观点：
1、，数学中的四色问题与地理学中的地图四色问是有区别的。四色定理已经不是百年前的那个地图着色的简单问题。而是图论中一个仅有计算机证明的一个世界著名数学难题
2、四色定理指的是任意平面连通图的色数不大于4. 而不是简单的如三正则图的色数问题。前者比后者要难得多。

另外，我在多年的四色定理证明探讨研究中，我现在对四色定理问题可以说是很了解了。我现在的四色定理证明仅用不到两三页，就把难题证明了。所以，我的观点是，对
四色定理的证明要使用“书“的 形式来完成，我是不看好的。除非是介绍从四色猜想的问题提出，直到现在有一定水平的证明论文的综述文章才可以写成书的形式。那又不叫”四色问题的证明“了。

    比方说，高考数学答卷给了不多于5张纸（现在真正是多少张我也不清楚，不会多于5张吧）。有位学生要求监考老师给他20张纸（才能完成）。不管他的答卷如何，估计是不及格的了。

四色定理的证明也一样，如果非要几十张纸才能完成证明。估计他是没有抓到证明的最关键和实质的东西，只不过是夸夸其谈而已。

以上都是我多年的努力得到的认识，难道需要看谁的书才有启发，才能有这样的“高见”吗？

zengyong

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abcd-efg

哈，你连 "泰特定理" 都不知道？……