又一道有趣的几何

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/08 02:11pm 第 3 次编辑]


给出一个使用 mathematica 软件的证明方法。
denglongshan 曾用“共轭比”方法给出了证明，证明过程中也要使用上述软件来帮忙。
mathematica 是一个“符号软件”，不需要给出具体的数据进行计算，通过这个例题，可以明白这个软件的独特优势。
证明的思路如下。
将三角形放在直角平面坐标系中，B 点与坐标系的原点重合，BC 边与 x 轴正向重合。
不失一般性，令 BC = 1,令 A 点的坐标是（x，y）。
于是可以计算出其它各点坐标值的表达式。这些点包括 D、E、F、R、Q、M。
最后求出 ED 线与 MF 线的交点 G，以及 ED 线与 RQ 线的交点 G1。
如果 G 点与 G1 点的坐标值完全相同，则证明它们是重合的。也就是三线交于一点。
程序及运行结果如下：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/10/08 02:20pm 第 1 次编辑]

 
说明：
 XD,YD 分别表示 D 点的横坐标和纵坐标。
 XE,YE； XF,YF； XR,YR；…… 意思同上。
  R 点，Q 点坐标的计算，涉及到直线方程与圆方程的交点求法，其求解过程不必人工推算，而是借助于 mathematics 软件求得表达式。
G 点和 G1 点坐标的计算，也是同样。

ccmmjj

今天认真读题，晚上想一想，或者明天会有结论。

denglongshan

下面引用由天山草在 2013/10/07 09:21am 发表的内容：
不知道吴文俊如何用自编的软件证明这个题目？

他可能不用自编的软件证明，而是提出一种方法，也就是吴方法，可以在他的著作《初等几何中的机器证明原理》中看出。
你的Mathematica证明似乎与我的不同，为什么没有Simplify等内部命令，希望把文本写出来，以后还将请教其它有关问题。

天山草

下面引用由denglongshan在 2013/10/08 10:17pm 发表的内容：
你的Mathematica证明似乎与我的不同，为什么没有Simplify等内部命令，希望把文本写出来，

（1）Simplify 是化简表达式的命令，我的方法不需要对表达式化简，只须让软件判断两个表达式是否相等（允许这两个表达式都没有经过化简）。
    由于不需要化简，这就给证明带来很大方便。
（2）我的那个程序本身也就是“文本”，没有别的代码了。只是那些坐标是如何推演来的，中间过程基本上没有给出。在计算线与线的交点、线与圆周的交点时，以前我是用手工算的，现在也用 Mathematica 算，省事多了。
（3）以前我是用 VB 软件编程，只能对具体的数据进行计算，这样说服力很差，不能算是“证明”。后来发现 Mathematica 能判断两个表达式是否相等，而不需要对式中的各字母先赋值，这就是该软件的强大优势。

ccmmjj

昨晚想了十几分钟，这是个没什么大不了的题目。这只是射影几何的一个基本题目，那个圆可以是椭圆，那个三角形也可以是特殊三角形，那两个以E、F为中心的线束可以证明那是有一条线自对应的透视，而QR不过是它的透视轴。大凡计算量很大，有关共点，共线，相切的几何问题，总是如此，不值一提。有一个论坛，好象是东方数学论坛，最好这一口，提议概率考把这个问题发到那里，不几天就有许多答案贴出来。这里扯皮的居多，都是自创的理论，不那么规范。

denglongshan

[这个贴子最后由denglongshan在 2013/10/09 10:57pm 第 2 次编辑]

“大凡计算量很大，有关共点，共线，相切的几何问题，总是如此，不值一提。”
请问上楼：什么才是好题？
“这里扯皮的居多，都是自创的理论，不那么规范。”
是否规范不重要，而是是否正确和有意义才重要。
本题把计算结果简单变形即可获得两条结论，恐怕用射影几何方法也不太容易，不过不懂射影几何。

denglongshan

希望看到其它证明