求解:已知空间一平面的法向量(a,b,c),求3个正轴在该平面投影的相互夹角的余弦A,B,C

luyuanhong

ataorj

如图,黑色部分是实际结果,红色部分,我现在只知道应该是那样的比例关系.正在试图画出原点.
更正:红色部分应该是方向角正弦比例关系

ataorj

陆老师给出答案了,我研习下.谢谢两位!

ataorj

12楼更正:红色部分应该是方向角正弦比例关系[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
红色部分与对应黑色边应该是垂直关系

ataorj

[这个贴子最后由ataorj在 2013/12/04 09:18pm 第 2 次编辑]

陆教授给出的不是最终答案.
已知一个平面的法向量n为(a,b,c)，求三个坐标轴向量在这个平面上的投影。
1 陆教授答案[下面是缩编]向量范畴)
同时与n和(1,0,0)垂直的为(0,c,-b)
同时与n和(0,1,0)垂直的为(-c,0,a)
同时与n和(0,0,1)垂直的为(b,-a,0)
(1,0,0)在平面上的投影为(b^2+c^2,-ab,-ac)
(0,1,0)在平面上的投影为(-ab,a^2+c^2,-bc)
(0,0,1)在平面上的投影为(-ac,-bc,b^2+a^2)
(1,0,0)投影向量与(0,1,0)的投影向量的夹角余弦为-ab/(a^2+c^2)/(b^2+c^2)
(0,1,0)投影向量与(0,0,1)的投影向量的夹角余弦为-cb/(a^2+c^2)/(b^2+a^2)
(0,0,1)投影向量与(1,0,0)的投影向量的夹角余弦为-ac/(a^2+b^2)/(b^2+c^2)
============
2 分析题目[';表示平方根,"表示平方,{}表示投影,[]表示属于扩展,可以忽略],法向量n为(a,b,c),设M=(a"+b"+c").
与n垂直的平面有无数个,其中任何一个作为投影面获得的一指定物体的投影都相同.若必要,可指定其中任何一个平面作为投影面.
原点O在过A(1/a,0,0),B(0,1/b,0),C(0,0,1/c)三点的平面m上的垂足为Q(a/M,b/M,c/M),向量Q与n平行,所以n也是m法向量.下面以m做投影面.
由于向量Q垂直于m且原点O是向量Q的始点,Q是向量Q的终点,则O,Q的投影点都是Q.
[而CQ=sin(∠COQ)/c,BQ=sin(∠BOQ)/b,AQ=sin(∠AOQ)/a]
{CQ}=CQ=((a/M-1/a)"+(b/M)"+(c/M)")';
{BQ}=BQ=((a/M)"+(b/M-1/b)"+(c/M)")';
{AQ}=AQ=((a/M)"+(b/M)"+(c/M-1/c)")';
{AB}=AB=((a/M)"+(b/M)")';
{CB}=CB=((c/M)"+(b/M)")';
{AC}=AC=((a/M)"+(c/M)")';
由余弦定理可得:
cos(∠AQB)=(AQ"+BQ"-AB")/(2*AQ*BQ)
=((a/(a^2+b^2+c^2))^2+(b/(a^2+b^2+c^2))^2+(c/(a^2+b^2+c^2)-1/c)^2+(a/(a^2+b^2+c^2))^2+(b/(a^2+b^2+c^2)-1/b)^2+(c/(a^2+b^2+c^2))^2-(a/(a^2+b^2+c^2))^2-(b/(a^2+b^2+c^2))^2)/(2*((a/(a^2+b^2+c^2))^2+(b/(a^2+b^2+c^2))^2+(c/(a^2+b^2+c^2)-1/c)^2)^(1/2)*((a/(a^2+b^2+c^2))^2+(b/(a^2+b^2+c^2)-1/b)^2+(c/(a^2+b^2+c^2))^2)^(1/2))
这也是x,y轴投影夹角余弦.这时的具体正负号由a,b正负号的异[则负]同[则正]决定.
x轴投影是以Q为中心,{AQ}缩放a倍而得到.
余略.
另外,陆教授答案应该是可以得到更简捷的,我没使用;另外,我估计QC垂直于AB.这些以后再分析.

陆教授给出的应该是最终答案,只是我不清楚,他的向量方向对余弦正负的正确性影响

ataorj

SWP居然把^当作*处理,上帖已经修正了

ataorj

完成作图.
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1 你的"投影向量"应该是"投影法向"吧?
物体长度总是不小于其平行正投影的长度.而你的单位向量的"投影向量"却可以大于1.你的"投影向量"缺少了因子1/(a^2+b^2+c^2).下面是我的推导.
设M=(a^2+b^2+c^2)
法向为n(a,b,c)且过原点的平面m方程为ax+by+cz=0  ...(1)
法向为n(a,b,c)且过(1,0,0)的直线l的参数方程为:x=1+ta,y=tb,z=tc. ...(2)
(2)代入(1),得:t=-a/M.t代入(2),得:
x=1-a^2/M
y=-ab/M
z=-ac/M
而这时,点(x,y,z)是点(1,0,0)在平面m上的投影,向量(x,y,z)也是向量(1,0,0)在平面m上的投影向量.同理,
(-ba/M,1-b^2/M,-bc/M)是(0,1,0)在平面m上的投影;
(-ca/M,-cb/M,1-c^2/M)是(0,0,1)在平面m上的投影.
2 不明白你的余弦是如何做到化简的.
3 我的资料里没有查找到上标r,它仅仅表示方向吗?
4 一个困惑:投影作图,投影点空间坐标已知,不计算余弦就无法作图吗?比如:
已经画出了原点和(1,0,0)的投影O和X,也知道了(0,1,0)的投影点坐标Y,画出它还必须求出OY和OX的夹角余弦吗?这种余弦用于作图有二义性?:逆时针?顺时针?
改用模值作图也有二义性...
-----------
这种二义性是不可避免的.如同左手系右手系,我们通常提前默认是右手系一样.现在的OX虽然已经画出做成了,但其也是二义性的.只有OY,OZ也画出而做成了,各种二义性才会消失.也可认为题目交代太少,我们自行指定一种即可.
一般地,余弦公式复杂些,舍弃之.下面全部用模值作图.
平行正投影于m平面,m显出了原形,即m平面与m投影重合.为明确表现这个,我们不考虑m在空间斜对着我们时的情形.则下面直接按照m平面上物件的真实大小画出即可.
|OX|=(1-a^2/M)^0.5
|OY|=(1-b^2/M)^0.5
|OZ|=(1-c^2/M)^0.5
|XY|=(((b^2+c^2+ba)^2+(a^2+c^2+ba)^2+(ac-bc)^2)/M)^0.5
    =(1+(c^2+2ab)/M)^0.5
|YZ|=(1+(a^2+2cb)/M)^0.5
|ZX|=(1+(b^2+2ac)/M)^0.5
先任意位置画|OX|,再O为圆心,|OY|,|OZ|为半径分别做圆Y1,Z1.
再X为圆心,|XY|,|ZX|为半径分别做圆O12,O13.
取Y1和O12一个交点Y,以Y为圆心,|YZ|为半径做圆O23,取O23和Z1和O13的公共点Z.
O,X,Y,Z画毕.
附件是GSP文件.

ataorj

更正:各种二义性才略为减少.
我记得GSP不直接支持3个对象共点的判断...所以让它自动如上作图...

ataorj

有趣的一点:
x=1-a^2/M
|OX|=(1-a^2/M)^0.5
但是|OX|并非仅仅x而得到.下面补充计算过程:
|OX|=((1-a^2/M)^2+(ab/M)^2+(bc/M)^2)^0.5
    =(1-a^2/M)^0.5
]