已知 AB=AC ，D,E 分别在 AB,BC 延长线上，DB/DC=CE/AE=1/2 ，求证：ΔBDC～ΔACE

denglongshan

ccmmjj 发表于 2019-11-3 12:08
这个题目我都快忘记了，又浮起来。有一个不上台面的数学定理，叫作角边边全等判定。，这个判定定理不同于普 ...

哪些可以上台面？

ccmmjj

denglongshan 发表于 2019-11-21 13:21
哪些可以上台面？

写在教科书上的定理就是上台面的。

王守恩

王守恩 发表于 2019-9-21 11:11
再往前走一走，在 DC 上找一点 F，使 FD = 3FC，如何证明：∠AFE = 90°？

再往前走一走，在 DC 上找一点 F，使 FD = 3FC，如何证明：∠AFE = 90°？

设等腰三角形ABC的底角为K。
1，由三角形CAE得：CA=4sin(K-arcsin((sinK)/2))/sinK，CE=2
2，由三角形CBA得：CB=4sin(K-arcsin((sinK)/2))sin2k/(sinksinK)。
3，由三角形CBD得：CD=sin2k/(4sink)，CF=sin2k/sink=2cosK。
4，在三角形AFE中：已知CA,CF,CE，根据余弦定理，
AF^2=CA^2+CF^2-2*CA*CF*cos∠ACF，其中∠ACF=K+arcsin((sinK)/2)
FE^2=CF^2+CE^2-2*CF*CE*cos∠FCE，其中∠FCE=180-arcsin((sinK)/2)
EA^2=CE^2+CA^2-2*CE*CA*cos∠ECA，其中∠ECA=180-K
整理可得：AF^2+FE^2-EA^2=((sink)/2)^2 + (cos(arcsin((sinK)/2)))^2 - 1

denglongshan

再往前走，还有：
2∠ABE+2∠HEC=3∠D，EH/AH=cotD/3

denglongshan

陆老师的证明稍加修改也适用D'和E'的情形。

denglongshan

共轭导数的图片没有引用，不知道为什么会出现。

denglongshan

证明：假设有BAD、BDC和CEA，是对应向量转过的向角，u.v和w是三个单位复数，u=e^(i∠BAD）,v=e^(i∠BDC）,w=e^(i∠CEA）,
\(\overrightarrow{AC}=u\overrightarrow{AB}{,}\overrightarrow{DC}=\lambda v\overrightarrow{DB}{,}\overrightarrow{CE}=\lambda w\overrightarrow{AE}，得\)\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\left( u-1\right)=\overrightarrow{DB}\left( \lambda v-1\right)，\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{DB}}=\frac{\lambda v-1}{u-1}\)
\(因为A、D和B在同一直线上，
取共轭得\frac{\lambda \overline{v}-1}{\overline{u}-1}=\frac{\lambda v-1}{u-1}\)
同理可得
\(\frac{\lambda \overline{w}-1}{\overline{u}-1}=\frac{\lambda w-1}{u-1}\)
\(两式联立得\frac{\lambda v-1}{\lambda \overline{v}-1}=\frac{\lambda w-1}{\lambda \overline{w}-1},即\frac{\lambda v-1}{\lambda -v}v=\frac{\lambda w-1}{\lambda-w}w\)
解方程得
\(w=u,w=\frac{\lambda v-1}{v-\lambda} \)

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

王守恩

denglongshan 发表于 2019-11-5 22:02
管它黑猫白猫，抓住耗子就是好猫，老师不妨谈谈用上面的定理如何解决?8楼中的其它结论是否也容易？

管它黑猫白猫，能抓住耗子就是好猫，能抓住耗子就可以上台面。

\(等腰三角形ABC两边AB=AC，D和E在AB和BC的延长线上，\)
\(且\frac{DB}{DC}=\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}，证明：△BDC\backsim△CEA\)

\(1，在△ABC中，记∠ABC=a\)
   \(则AB=AC=\sin(a)\ \ \ BC=\sin(2a)\)
  

\(2，在△BDC中，记∠BDC=b \)
   \(则DB=\frac{\sin(2a)\sin(a)}{2\sin(b)}=\frac{\sin(2a)\sin(a-b)}{\sin(b)}\Rightarrow\frac{\sin(a)}{2}=\sin(a-b)\ \ (1)\)
  

\(3，在△CEA中，记∠CEA=c \)
    \(则EC=\frac{\sin(a)\sin(a)}{2\sin(c)}=\frac{\sin(a)\sin(a-c)}{\sin(c)}\Rightarrow\frac{\sin(a)}{2}=\sin(a-c)\ \ \ \ (2)\)
  

\(4，综合(1),(2)，\sin(a-b)=\sin(a-c)\Rightarrow b=c\Rightarrow△BDC\backsim△CEA\)