“连乘积公式”比我们的想象更神奇、更美妙

愚工688

计算偶数能够分成的素数对的数量的连乘式：
Sp(m)=(A-2)*P(m)
        =(A-2)P(2·3·…·n·…·r)
        =(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)
        =(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)    {式2}
    式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n，[jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n ，[jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
我这里对偶数2A采用的首项是(A-2)，而不是你对偶数A的A/2，则是把偶数M的{1+（M-1)},{2+（M-2)} 预先排除掉，对比较大的偶数M，与你的计算值没有差别。
那么该连乘式是否具有偶数越大，对误差率（我以相对误差为例）的调控功能的作用会发挥的更好呢？
显然所谓的调控功能这是与实际情况不一致的。

在偶数M比较小的区域，相对误差的平均值处于负值状态；
到偶数1万-3万区域，相对误差的平均值处于0位上下；
到5万以上，各个偶数的相对误差值已经大于0位，并且随着偶数的增大，逐渐的趋向于0.20附近；
因此我计算偶数的素对数量的下限时，采用的是1/（1+μ）的μ=0.21作为下界计算值的相对误差修正系数的。
目前我能够筛选的偶数素对为百万亿级别，其时各个偶数的素对计算值的相对误差范围集中在0.18附近，而不是接近0位。

实际偶数1000到10亿趋大时的相对误差变化举例如下，可以看到相对误差的变化趋势：

S(1000)= 28 ；Sp( 1000 ) ≈ 20.61 ，δ(1000)≈-0.2639 ，k(m)= 1.3333
S(1002)= 36 ；Sp( 1002 ) ≈ 30.98 ，δ(1002)≈-0.1394 ，k(m)= 2
S(1004)= 18 ；Sp( 1004 ) ≈ 15.52 ，δ(1004)≈-0.1378 ，k(m)= 1

S(10000)= 127 ；Sp( 10000 ) ≈ 127.61 ，δ(10000)≈ 0.0048 ，k(m)= 1.3333
S(10002)= 197 ；Sp( 10002 ) ≈ 191.45 ，δ(10002)≈-0.0282 ，k(m)= 2
S(10004)= 99  ；Sp( 10004 ) ≈ 99.86  ，δ(10004)≈ 0.0087 ，k(m)= 1.043

S( 10^5) = 810 ；Sp( 100000 ) ≈ 820.35 ，δ( 10^5 )≈0.0128 ,k(m)= 1.3333
S(100002)= 1423；Sp( 100002 ) ≈1476.67 ，δ(100002)≈0.0377 ，k(m)= 2.4
S(100004)= 627 ；Sp( 100004 ) ≈ 644.59 ，δ(100004)≈0.0281 ，k(m)= 1.0476

D(1000000)= 5402；Sp( 1000000 ) ≈ 5770.85 ，δ( 10^6 )≈ 0.0683 ,k(m)= 1.3333
D(1000002)= 8200；Sp( 1000002 ) ≈ 8656.30 ，δ(1000002)≈0.0556 ，k(m)= 2
D(1000004)= 4160；Sp( 1000004 ) ≈ 4463.75 ，δ(1000004)≈0.0730 ，k(m)= 1.0313

D(10000000)= 38807；Sp( 10000000 ) ≈ 42642.26 ，δ( 10^7 )≈ 0.0988  , k(m)= 1.3333
D(10000002)= 59624；Sp( 10000002 ) ≈ 65384.81 ，δ(10000002)≈0.0966 ，k(m)= 2.0444
D(10000004)= 36850；Sp( 10000004 ) ≈ 40635.58 ，δ(10000004)≈0.1027 ，k(m)= 1.2706

D(100000000)= 291400；Sp( 100000000 ) ≈ 326294.40，δ( 10^8 )≈ 0.1197  , k(m)= 1.3333
D(100000002)= 464621；Sp( 100000002 ) ≈ 519373.37，δ(100000002 )≈ 0.1178，k(m)= 2.1223
D(100000004)= 247582；Sp( 100000004 ) ≈ 276910.16，δ(100000004 )≈ 0.1185，k(m)= 1.1315

D(1000000000)= 2274205；Sp( 1000000000 ) ≈ 2582599.54, δ(1000000000)≈0.1356  , k(m)= 1.3333
D(1000000002)= 3496205；Sp( 1000000002 ) ≈ 3973437.89，δ(1000000002)≈0.1365  ，k(m)= 2.0514
D(1000000004)= 1747858；Sp( 1000000004 ) ≈ 1986615.04，δ(1000000004)≈0.1366  ，k(m)= 1.0256

这里的k(m)值，即 π(P1-1)/(p1-2),p1系偶数含有的奇素数因子。
k(m)值体现了各个偶数素对数量的波动量。

连乘式计算11万亿偶数时的实际相对误差举例：
G(11111111111110)= ,Sp( 11111111111110 )=  14114669913.7 ,Δ≈0.176200897   , k(m)= 1.37713
G(11111111111112)= ,Sp( 11111111111112 )=  20549005813.6 ,Δ≈0.17621465    , k(m)= 2.00491
G(11111111111114)= ,Sp( 11111111111114 )=  13141002048.5 ，Δ≈0.176222484   , k(m)= 1.28213
G(11111111111116)= ,Sp( 11111111111116 )=  10357204998.6 ，Δ≈0.176205931    , k(m)= 1.01053
计算式：
Sp( 11111111111110 ) =  [( 11111111111110 /2 -2)]*p(m) =  14114669913.7  ,
Sp( 11111111111112 ) =  [( 11111111111112 /2 -2)]*p(m) =  20549005813.6 ,
Sp( 11111111111114 ) =  [( 11111111111114 /2 -2)]*p(m) =  13141002048.5 ,
Sp( 11111111111116 ) =  [( 11111111111116 /2 -2)]*p(m) =  10357204998.6 ,

志明

lusishun 发表于 2019-11-3 06:28
你们陷入误差的泥潭，
误差不会无限大，不是公式在调控，而是倍数含量的重叠规律在起作用，而公式是重叠规 ...

鲁思顺先生:您好!

      有规律就必有公式，公式由规律产生，规律由公式表达。公式与规律是同时存在的，不存在谁先谁后，这是常识性的知识。因为规律是由公式表达，因此，对公式的分析就是对规律的分析。并且，我在《运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高》http://www.mathchina.com/bbs/for ... 5&extra=page%3D中，也不是单纯地对公式进行分析（单纯地对公式进行分析也是可以的，但很难表达清楚），而是根据数的规律与关系进行分析推理。根本不存在您所说的本末倒置这码事！

     您说“误差不会无限大，不是公式在调控，而是倍数含量的重叠规律在起作用，”我认为您这样的认知很浮浅，这样的表述很不精准，甚至可以说是错误的。我认为“倍数含量的重叠”只是形成“连乘积公式”的条件之一，但绝对不是控制误差不会无限增大的关键因素。

   “在从1至偶数A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。”这才是控制误差不会无限增大的关键因素。因为它们相对的均衡性，必然会导致历次筛除过程中产生的累计误差的分布情况也具有相对的均衡性。因此，在从1至偶数A的范围内，当累计误差相对较大，并且分析区（从1至A/P）的范围相对也较大时，累计误差分布情况的相对均衡性，必然会导致分析区（从1至A/P）的范围内存在与累计误差同方向的误差。并知：此次筛除会产生与分析区范围内的误差绝对值相等，方向相反的误差。因而，此次筛除后累计误差会降下来，调控功能是这样产生的。这与“倍数含量的重叠规律”有关吗？
我在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷》
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D6中对此有比较简略的表述。在此再重复一遍。

   “其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差不会无限扩大）。”

志明

鲁思顺先生：您好！

  “研究与探索误差问题，”是您所说的陷入了泥潭吗？

   即使按您所说的是泥潭，我觉得在您认为的泥潭中存在很有价值的东西。在运用“区域分析法”对误差进行分析的过程中，目前已有以下这些收获：

1、证实了“连乘积公式”自身具备对误差的调控功能（以前可能只是认为有调控功能，但似乎没有具体的证实过程），对于调控功能可以把误差最终控制到什么程度，虽然有些网友有不同的观点。但是，调控功能最起码能有效地控制误差不会无限增大，能保证“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值。

2、知道了从第二次筛除开始，每次筛除过程产生的误差，是由之前累计误差的分布情况确定的；

3、知道了从第二次筛除开始，每次筛除过程会产生与分析区（从1至A/P）范围内的误差绝对值相等，方向相反的误差。（如果分析区范围内的误差与累计误差同方向，此次筛除能把累计误差降下来，）

4、知道了在最后一次筛除（筛除2的倍数）前，如果筛除之前的累计误差不是特别的微小，在最后一次的筛除中必定会产生与筛除之前的累计误差方向相反的误差，把筛除之前的累计误差降下来。

5、知道了调控功能具有“累计误差相对较小时，调控功能的作用不明显；累计误差相对较大时，调控功能的作用更加明显。”这样的特征。

志明

大傻8888888 发表于 2019-11-4 03:33
discover 发表于 2019-10-9 09:48
志明：运用"区域分析法"试证"哥猜公式"误差率不会很高
数学家早己证明 ...

先生：您好！

我的水平很有限，您证明过程中的很多符号我完全看不懂，是否能用文字把证明过程进行简略的阐述？或者简略的说说证明结果。以便赏阅。

志明

愚工688 发表于 2019-11-4 03:52
计算偶数能够分成的素数对的数量的连乘式：
Sp(m)=(A-2)*P(m)
        =(A-2)P(2·3·…·n·…·r)

愚工先生：您好！

    非常感谢您提供了这么多的数据，不知您计算的Sp值是不是原汁原味的连乘积公式的计算结果？还是加了修正系数后的计算结果？如果您的Sp值是原汁原味的连乘积公式的计算结果，那说明我以前认为“随着偶数的不断增大，误差会越来越小，趋向于零。”是错的。

    但是，连乘积公式对误差具有调控功能、调控功能具有“累计误差相对较小时，调控功能的作用不明显；累计误差相对较大时，调控功能的作用更加明显。”这样的特征等等（在本贴的13楼有阐述）还是可以确定存在的。

愚工688

志明 发表于 2019-11-6 15:10
愚工先生：您好！

    非常感谢您提供了这么多的数据，不知您计算的Sp值是不是原汁原味的连乘积公式的 ...

我上面的计算值是不加修正的连乘式的相对误差数据。
如果使用修正数据后的连乘式，那么可以做到计算值的相对误差很小，达到高精度的效果。
可以看我的帖子《高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例》
当然在5万以下的偶数中，连乘式的相对误差是逐渐趋小的。

从连乘式的误差分析，如果单单从满足不同素数的余数条件来筛选，那么在自然数列中，每连续π（p)个自然数中的满足不同素数的余数条件的数的计算是没有误差，即在每π（p)个数形成一个完整的循环周期。这里的π（p)的p是指偶数M的√(M-2) 内的全部素数。
而偶数2A的素对必然能够表示成A±x 的形式。也就是x 的取值区间[0，A-3]是小于π（p)值的，就是构成素数对的x值的筛选是在一个不完整的循环周期中，因此必然会产生相对误差。
至于为什么随偶数增大，相对误差值会越来越偏离0位而趋向0.20附近？
我的观点是偶数M越大，√(M-2) 内的全部素数的乘积也飞速增大，而x 的取值区间[0，A-3]中的数在整个π（p)循环周期内数的占比越来越小，并且始终处于整个π（p)循环周期内中的数的小端。根据相对误差实际变化情况，只能解释为端点现象吧。

这个素数对连乘式的计算数量的相对误差随偶数增大而趋向0.20附近的现象，与自然数中的素数数量的连乘式计算发生的相对误差情况，是基本一致的，都是产生正相对误差情况，并且岁数的增大而相对误差值的趋势变化也是差不多的。
要从理论上分析出个相对误差变化的所以然来，非我们业余者能够做到的。

总之，你说的连乘积公式对误差具有调控功能，在小偶数时确实可以从例子中看到，（但是小偶数时各的偶数的素对计算值的相对误差分布的范围比较大，也许举了个相对误差比较大的偶数，就看不到有效的调控功能了）。
而大偶数区域时，各个偶数的素对计算值的相对误差趋于接近，并且都离开0位，则更没有所谓的误差调控功能了。

大傻8888888

志明 发表于 2019-11-6 23:07
先生：您好！

我的水平很有限，您证明过程中的很多符号我完全看不懂，是否能用文字把证明过程进行简 ...

志明先生：您好！
我证明过程中的很多符号其实很简单，都是数学上常用符号：∏(1-1/p)表示(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)……(1-1/p)
e^(-γ)中的e是自然对数的底e=2.71828……，γ是欧拉常数γ=0.5772……
e^(-γ)表示是 e的 (-γ)方，  e^(-γ)≈0.56146
我的证明结果是如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值
也就是说(N/2)∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数当N趋近无限大时是实际值大约1.261倍。
愚工688先生的大数值也从实际上得出用连乘式计算是实际值大约1.2倍。这个值比我的理论值要小，这是因为愚工688先生的大数值比起无限大还是太小了。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-11-7 13:57
志明先生：您好！
我证明过程中的很多符号其实很简单，都是数学上常用符号：∏(1-1/p)表示(1-1/2)×(1 ...

我不知道你说的“(N/2)∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数当N趋近无限大时是实际值大约1.261倍。”
有什么依据。

与我说的素对下界计算值的修正系数1/(1+μ) 的 μ=0.21有约4%的差异。
而我认为1/(1+μ) 取 μ=0.21已经足够了，没有证据显示 取 μ=0.21不能计算无限大，只是受计算设备与程序的能力限制而已。

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-11-8 21:44
我不知道你说的“(N/2)∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数当N趋近无限大时是实际值大约1.261倍。”
有什么 ...

       依据就在10楼，科学的理论是可以不受计算设备与程序能力限制的，我确信比实际值大约1.261倍成立。就像门捷列夫根据元素周期表可以知道有一种类铝的元素，后来果然发现了元素镓，以及爱因斯坦预言光线经过太阳会偏移，并且计算出偏移的角度，后来经过英国科学家观测日全食得到证实一样。

大傻8888888

大傻8888888 发表于 2019-11-8 22:26
依据就在10楼，科学的理论是可以不受计算设备与程序能力限制的，我确信比实际值大约1.261倍成立。 ...

discover 发表于 2019-10-9 09:48
志明：运用"区域分析法"试证"哥猜公式"误差率不会很高
数学家早己证明：所谓的哥猜连乘积公式在偶数充分大 ...
　　discover先生说“数学家早己证明：所谓的哥猜连乘积公式在偶数充分大时误差率约为26%.”