[原创]连续统假设

申一言

  集合论？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

luyuanhong

    如果我们愿意接受非标准分析的观点，承认有无穷大整数的存在，考虑具体的
集合 A={1,2,3,…,2Ω-1,2Ω} 与 集合 B={2,4,6,…,2Ω-2,2Ω} 中的整数是不是
“一样多”的问题，那么，楼主的想法，还是有一些道理的。
    下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，修改后发表如下：

elimqiu

{2,4,…,2Ω}到{1,2,…,2Ω}有没有一一对应靠
2n ←→ n 不能建立{2,4,…,2Ω}与{1,2,…,2Ω}间的一一对应
来说明是不够的。

awei

[color=#0000FF]所有集合的元素个数都是自然数，没有半个元素，也没有0.3个元素，那么自然数是度量集合元素的唯一的尺。所有无限集的基数应该是相等，这才是正确的结论。我们的尺唯一的，即自然数列是固定不变的，用尺子量出了比尺子还长的距离，康拓那里出错了？他是如何度量的？我们的思维如何在直线和圆环中跳跃，才能让自己信服，恐怕不是数学能够完成的吧?呵呵！

暗夜精灵

如果我把无限集看成是一个数数的过程，那么N和2N增加的“速度”是一样快的，即都是按照“一个一个”的方式不停增加着的，这和自然数一样都是“一个一个”地增长的，因此把它们看成是等势的两个集合。而实数集则不是按照“一个一个”的方式增加的，它的增长速度似乎更快，总之是快过自然数集的，因此它与自然数集不等势
为什么部分会等于整体，因为2N和N是很特殊的部分和整体，都是无限增长的，如果2N比N少，无论少多少都可以通过无限增长的方式弥补回来，而N认为2N是自己的一部分，没理由和自己一样大，于是也一起增长想要盖过2N，这是个无限的攀比过程，结论是：它们一样大，谁都盖不过谁，呵呵~~！！

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 06:18am 发表的内容：
{2,4,…,2Ω}到{1,2,…,2Ω}有没有一一对应靠
2n ←→ n 不能建立{2,4,…,2Ω}与{1,2,…,2Ω}间的一一对应
来说明是不够的。

对！仅仅用“无法建立 2n ←→ n 的对应”来证明“ {2,4,…,2Ω} 与 {1,2,…,2Ω}
不一一对应”，是不够的。我在前面帖子中，不过是顺应一般人的直观想法，说说而已。
其实，这个命题严格的证明，要用到非标准分析中的“转换公理”。
参看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
非标准分析中的“转换公理”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10651

elimqiu

基数算术有一条定理: 如果 a, b 之一是无穷基数，那么 a+b = max{a,b}
这跟上面关于Ω对应的基数的论断矛盾。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/17 10:37pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 03:00pm 发表的内容：
基数算术有一条定理: 如果 a, b 之一是无穷基数，那么 a+b = max{a,b}
这跟上面关于Ω对应的基数的论断矛盾。

这里的“有限基数”和“无穷基数”，也要作转换，换成“超有限基数”和“超无穷基数”。
像集合 A={1,2,…,Ω} 的基数是 Ω ，属于“超有限基数”，不属于“超无穷基数”。
全体超自然数集合 N*={1,2,…,Ω,Ω+1,…} 的基数是“阿列夫零*”，属于“超无限基数”。
转换后的命题是：
“如果 a, b 之一是超无穷基数，那么 a+b = max{a,b}”
仍然是成立的。

awei

[color=#0000FF]有没有转换的必要？无意义的算术，实用性在哪里？也不知道a+b = max{a,b}是怎么弄出来的，不知道Ω后面还会不会有Ω`,Ω``,Ω```.超自然数迟早会被镇压掉的，自然数必须要找出上限，因为数学最终目的是要找出最简单的方法解决的问题，而不是在圆里绕来绕去！呵呵！

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/17 10:34pm 发表的内容：
这里的“有限基数”和“无穷基数”，也要作转换，换成“超有限基数”和“超无穷基数”。
像集合 A={1,2,…,Ω} 的基数是 Ω ，属于“超有限基数”，不属于“超无穷基数”。
全体超自然数集合 N*={1,2,…,Ω,Ω+1 ...

换句话说，超自然数集不是标准集合论中的集合？