[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

伐木道人

    三元数的除法是定义在乘法的逆运算上的,本质上,是以线性方程组的理论为基础的,关于三元数的倒数,是从乘积为1的定义出发解决的,与复数理论一致,ahnuzfm 应该先好好读懂论文及例题后，再发言不迟。
    复数的确是最大的一个数域,但现在出现了新情况,三元数空间分成许多个数平面时,每个数平面都能形成一个数域,其作为一个整体，虽不构成一个数域，却满足推广函数的自洽性需要，Hamilton的贡献论文中已有交待,不过,Hamilton并未发现三元数的三角形式,未洞悉其代数形式与球坐标的统一，从而就无法去研究三元数的开方、乘方，以及求三元数的指数函数等运算。
    数学史中已阐明，Hamilton发现四元数环用了十年的时间，不过，真理并不与时间成正比。
    当然，Hamilton对数系的探索精神仍是值得我们学习的，虽然他未找到最终真理。
    数系理论在深度上和非线性代数方程组联系紧密。

starwhite

    严格来说，应该是数系理论在深度与广度上，和非线性代数方程组联系更为紧密！（当然在确保有根存在的前提下）

ahnuzfm

其实在代数上已经证明有"数域"中,N次多项式有且只有N个根,这是定理,与" 伐木道人 "提到的那个定理是等价的.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ahnuzfm 在 时添加 -=-=-=-=-
另外好像也已经证明比复数域大的数域一定是Hamilton四元数环, 至少我见过的官方教科书上是这么说的.

伐木道人

   不知ahnuzfm是哪所大学毕业?传统数学界的结论,在"数域"中,N次多项式有且只有N个根(在复平面上成立,到数空间则不一定)这当然不会错,不过,不知你想过没有?为什么高斯生前不愿发表他关于三元数的的论文呢?是真不存在三元数?还是高斯心中有顾虑?须知高斯当时是德国数学学术界领袖,他不得不处世谨慎,因为一旦承认有高于二维的数系理论存在,就可能发生一元N次方程有多于N个的根的情况,这样有根与N次方程有N个根就会不等价,这毕竟是当时数学界所不愿看到的事情,另外,如果宣称一元N次方程有多于N个的根,严谨的数学家就会追问到底有几个根,又如何找到这些根,这将不得不与非线性代数方程组打交道,显然已超出高斯时代所能达到的水平,他当然乐得回避这个问题,即便到现在新的数系理论也是易引起争议的事情.
    另,复数域已是最大数域,Hamilton四元数不是数域,因除法不好解决,只能称为环,
你见过的官方教科书上写的不错,一般官方教科书上只撰写基本成熟的理论,尚有争议的理论,一般官方教科书是不会介绍的,尤其在中国的数学界更是如此.

ahnuzfm

[这个贴子最后由ahnuzfm在 2007/12/20 05:32pm 第 1 次编辑]

那些大数学家做发明时是从来不求严格的,都是先把东西弄出来,然后再寻找其逻辑基础,牛顿的微积分学就是一例.高斯也是如此.
N次多项式的根若想多于N个,在域 (不光是数域,还包括有限域) 中是不可能的,只能在有零因子的环中,
而数域或者数环都没有零因子,所以N次多项式在数域或者数环中的根的个数绝不会多于N个,稍稍接触过近世代数 Basic Algebra 的人都知道这个结论.
Hamilton 四元数环中除法是可以做的, 这个环中只是没有交换律, 其它与复数域无异.

伐木道人

ahnuzfm先生: 你的见解很好!看来确实读过Hamilton 四元数的书,不过,要形成一个数域,需首先满足所谓域公理,四元数可左除或右除,但不满足交换律,即:不满足域公理的要求,所以不能称为数域.这在高等代数中有介绍,关于数学史的知识,国内中科院袁向东、李文林老师的书可以一读，国外数学家当首推M.克莱因的书。 你提的问题也正是我所关注的问题，现在我们面对的三元数（严格来说，她可以自然推广至N元数，只是在三维数空间讲述更直观，便于讨论，从四元数、N元数出发亦可）并不形成一个数域，她是一个全新的数学概念，关于数域的结论不适合于她，我也不知该如何定义这样一个新的数学事物，有一点可以肯定，在三维数空间一元N次多项式的根确实可以多于N个，举个简单例子，-1的平方根在复平面上有且只有两个根，但在三维数空间有一且仅有一个圆的根存在，该圆与复平面恰好垂直交于 i与-i两个点，该圆的方程是：icosθ+jsinφ,其中i2=j2=0,i*j=0,你不妨验证，看结果如何？ 另,一元二次方程有超过2个的根也是可能的,你可以自己去探讨,不过,还是请仔细读懂<超越复数的三元数-从复平面到三维数空间>论文再说,否则我们无法讨论下去. Hamilton的四元数与我们的三元数及四元数不同,但,也存在N次多项式的根多于N个的情况,这,你就了解的不够了,传统教材往往回避理论的弱点、难点，但要成为一个领域的前沿人物，则，不能回避这些问题，甚至，我们有时要有意绕开传统观点，才能最终有所作为，愿与你成为朋友，经常交流数学观点。 　　　另外，当代数学家中，只有象丘成桐这样少数人物才敢讲点真话，我听过他和陈省身老师的演讲，我不认为，靠国内的一些只会跟着别人跑的数学家能搞出多少象样的成果来。

伐木道人

ahnuzfm先生:
       你好!-1的平方根是p=yi+zj,其中,y2+z2=1,i2=j2=-1,i*j=0,或写成p=icosφ+jsinφ亦可,昨天打字出现一小失误,特作如上更正.
      因三元数整体来看,满足交换律,并不满足结合律（将她们分布在各个数平面上时，复数满足的运算律三元数都能满足）,所以与Hamilton 四元数还是有很大区别的,Hamilton 四元数满足结合律,但不满足交换律,a*b≠b*a,这样,导致c=a*b时,c除以a出现左除、右除情况，所以，作除法时结果不能一次确定，这样，交换律与作除法就产生了联系，如果满足交换律，相除的结果一定可以一次确定。

starwhite

    西方数学家对数的性质尚有要求,我国的高等代数书交代的不清楚,不论数环、还是数域都是以群的概念为基础的，现在的三元数甚至都不能在整体上形成一个乘法群，更谈不上数域了，不过，从几何角度看，数空间分成无数个数平面时，每个数平面上的数倒可以形成一个与复数同构的群，这样，代数四则运算就又可以畅行无阻了，很容易引起数学体系的混乱，关于什么是数，目前并无定义，是不是，能够进行四则运算就可以称为数呢？不好回答。
    或许，对新的数学对象，我们的理解还不够深入吧。

伐木道人

    三元数的乘法并非是向量乘法，而是具有仿射变换的意义，代表了一种旋转与压扁的几何变换，数与向量有本质区别，因为数比向量更抽象，所以，数可以表示标量，也可以表示一个向量。
   向量乘法本质上是一种数的坐标的函数运算，若将三元数表示向量，只需再定义两种数的坐标的函数，就可以使两种数学概念获得统一。
   能够进行四则运算的东西就可以称为数，这倒是个不错的想法。
   反之，不能进行四则运算的东西就不可以称为数，不管这种数具有什么样的性质。
   新的事物不能用旧的数学概念来衡量，不妨将她的性质研究清楚再说。
   过早加上各种现有的数学框框，我们就无法认识和了解新的数学事物了。

starwhite

    三元数连乘法群都不是，却能够进行加、减、乘、除四则运算，这是怎么回事？
    从数系出发，却导致不得不对一类线性和非线性代数方程组进行深入研究，直到深究复平面的结合律等各种性质，看来，数系中仍有许多我们所不了解的东西。