a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2

wangyangkee

请陆老师或见者诸君看看，下面的证明是否靠得住？

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2010/09/01 03:40am 发表的内容：
请陆老师或见者诸君看看，下面的证明是否靠得住？

    在约束条件下求一个函数式的最大最小值，如果在约束条件和函数式中，各个自变
量的地位是完全对称的，那么，往往是当各个自变量取值相等时，函数取到最大最小值。
    但是，这个结论并不是永远成立的，我们可以举出反例，例如：
    在约束条件 a+b=0 下，求 f(a,b)=sin(a-b)^2=sin(a^2-2ab+b^2) 的最大最小值。
在约束条件和函数式中，自变量 a,b 的地位显然是完全对称的。
当 a=b 时，由 a+b=0 可知必有 a=b=0 ，这时有
    f(0,0)=sin(0-0)^2=sin0=0 ,但它既不是最大值、也不是最小值。
而当 a=√(π/8) ，b=-√(π/8) 时，显然满足约束条件 a+b=0 ，并且有
    f(√(π/8),-√(π/8))=sin(√(π/2))^2=sin(π/2)=1 ，函数取到最大值。
当 a=√(3π/8) ，b=-√(3π/8) 时，显然满足约束条件 a+b=0 ，并且有
    f(√(3π/8),-√(3π/8))=sin(√(3π/2))^2=sin(3π/2)=-1 ，函数取到最小值。

wangyangkee

感觉：
   luyuanhong 老师的反例，不够符合“各个自变量的地位是完全对称的”，又诸于“约束条件 a+b=0”等，不是“f(a,b)=sin(a-b)^2”对a,b的对等的约束条件；因a-b即+a-b,显然不是对称的。
   经luyuanhong 老师提示，本人再思考。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 wangyangkee 在 时添加 -=-=-=-=-
感觉：
f(a,b)=sin(a-b)^2中的对等的约束是：
a+(-b)在正弦函数的取值域内。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/01 03:33pm 第 3 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2010/09/01 11:21am 发表的内容：
感觉：
   luyuanhong 老师的反例，不够符合“各个自变量的地位是完全对称的”，又诸于“约束条件 a+b=0”等，不是“f(a,b)=sin(a-b)^2”对a,b的对等的约束条件；因a-b即+a-b,显然不是对称的。
   经luyuanhong  ...

    在前面的帖子中，我指出：

    在约束条件下求一个函数式的最大最小值，虽然在约束条件和函数式中，各个自变量
的地位是完全对称的，但是，并不一定当各个自变量的取值相等时，函数取到最大最小值。

    前面举了一个反例，下面再举一个反例：

    在约束条件 a^2+b^2+c^2=3 下，求 f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3 的最大值和最小值。

显然，在约束条件和函数式中，自变量 a,b，c 的地位是完全对称的。
    将 a=b=c 代入 a^2+b^2+c^2=3 ，解得 3a^2=3 , a=±1 ，即有 a=b=c=±1 。
    当 a=b=c=1 时，有 f(1,1,1)=1^3+1^3+1^3=1+1+1=3 ；
    当 a=b=c=-1 时，有 f(-1,-1,-1)=（-1）^3+（-1）^3+（-1）^3=-1-1-1=-3 。
f(1,1,1)=3 是不是 f(a,b,c) 的最大值？f(-1,-1,-1)=-3 是不是 f(a,b,c) 的最小值？
    当 a=√3 ，b=c=0 时，有 f(√3,0,0)=(√3)^3+0^3+0^3=3√3 ，它显然大于 3 ；
    当 a=-√3 ，b=c=0 时，有 f(-√3,0,0)=(-√3)^3+0^3+0^3=-3√3 ，它显然小于 -3 。

可见，当 a=b=c 时的函数值，既不是最大值、也不是最小值。

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2010/09/02 06:44am 第 1 次编辑]

1，感谢luyuanhong 纠错！感谢luyuanhong 老师的劳动！
2，再烦，但不急，待luyuanhong 的闲暇之时；   即： 在约束条件和函数式中，各个自变量的地位是完全对称的条件下，补充自变量同号的条件，是否有反例？ 对于变量的  和有极小值   和   积有极大值，是否有反例？
3，同一问题，反复麻烦 luyuanhong 老师，显得本人是个无赖；但是，基于本人在此问题的思考，不愿随便放弃；想弄清，其间，错误之究竟； 想弄清，其间，有几分正确；哪怕万分之一，，，
4，本人还想将问题推广：在实际的自变量不能相等但可以接近时，同样，所说的和有极小值所说的积有极大值；在实际的自变量不能相等，而众多自变量的极差（最大值和最小值之差）是定值的前提下，自变量按相对均匀的等差分布比之不均匀得随意分布，同样，所说的和有极小值所说的积有极大值；本人感觉这些是正确的，并运用了；但，无法进行可靠的证明。

drc2000