一种满足交换律和结合律的三元数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/05/04 04:42pm 第 1 次编辑]

赵录老先生：你好象没有仔细看过我的帖子。
在我介绍的三元数中，零元是唯一的，就是 0 ，单位元也是唯一的，就是 1 。
所以，这种三元数不仅可以构成群，也可以构成环，甚至离构成域也只差一点点。
你的思想中，可能把“零元”与“零因子”这两个不同的概念混淆在一起了。
我再重复说一遍：
“零元”是对任何 x 能够满足 x＋0＝x 的元素。在我介绍的这种三元数中，“零元”只有唯一的一个，就是 0 。
“零因子”是本身 x≠0 、y≠0 而有 xy＝0 的元素。在我介绍的这种三元数中，“零因子”可以有无数多个。
在群和环的定义中，只要求“零元”是存在而且是唯一的，对“零因子”是否存在、是否唯一没有要求。
所以，在我介绍的这种三元数中，有无数个“零因子”存在，并不妨碍它成为群，成为环。

zhaolu48

请教楼主，您的图片是用抓图软件制成的吧，还是用其它什么办法。
那么长的图片是怎样制成的，可否把您的办法教给我呢？

luyuanhong

我上传到“数学中国”论坛的文章，是用最普通的 Word 写的，文章中的数学式是用 Word 中自带的的“公式编辑器(Equation)” 或“数学类型(MathType)”软件写出来的。
在 Word 中，你在上面的工具栏中可以找到一个“√α”图标，点击这个图标，就会出现一个数学公式编辑的窗口，同时上面会出现一条有各种数学公式符号的菜单，利用这个数学公式符号菜单，你就可以在窗口中写出你想写的数学公式。写完以后，如果是 Equation，按“Esc”可以退出；如果是 MathType，按“Alt-F4”可以退出。
如果在 Word 上面的工具栏中找不到“√α”图标，可以依次点击“工具”——“自定义”——“命令”——“插入”，在右边窗口中上下翻动，找到“√α”图标，用鼠标将它拖放到上面工具栏中，就可以了。
如果有“√α”图标，但是点击它没有任何反应，可能是因为你的 Word 中没有安装“公式编辑器(Equation)” 或“数学类型(MathType)”软件，那就要重新安装一下。
文章写好后，我用软件 IrfanView 中的屏幕截图功能，将屏幕上的文章截取下来，拷贝到 Windows 中自带的“画图”软件 MsPaint.exe （或其他图形编辑软件）中，保存为 GIF 类型的图形文件（也可以保存为其他类型的图形文件，但 GIF 图形文件比较小，容易上传），将它作为附件上传到论坛。
软件 IrfanView 可以到网上寻找，找到后就可以下载安装。
你安装好 IrfanView 软件后，以后每次如果需要作屏幕截图，先运行 IrfanView，依次点击菜单中的“选项”——“截图/屏幕快照”——“开始”，这时，IrfanView 界面最小化，看不见了，不用管它。
然后进入你要作截图的软件界面，例如进入 Word ，可能你已经写好了一段带有数学式的文章，将这段文章移动到屏幕中央，然后按“Ctrl-F11”，屏幕中的这段文章就截取到 IrfanView 中去了。在 IrfanView 中，用鼠标拉出一个长方形框，将这段文章（文字模糊一些没关系）框住，按“Ctrl-C”。再打开“画图”软件MsPaint.exe，按“Ctrl-V”，这段文章的图像就拷贝到画图软件 MsPaint 中了（如果文章较长，可以分几次截取、拷贝）。
再点击画图软件 MsPaint 菜单中的“文件”——“保存”，输入一个文件名，在“保存类型”中选择“GIF(*.GIF)”，然后点击“保存”，就可以将这段带有数学公式（还可以带有插图）的文章保存为 *.GIF 图形文件，就可以将它作为附件上传到论坛中去了。
上传带有附件的帖子时，你可以在“上传附件或图片”后面，用“浏览”找到你要上传的附件名，点击“立即上传”，等到文字栏中出现与上传附件相应的字符串后，点击“发表新主题”或“发表回复”就可以了。

luyuanhong

我经过研究，又进一步推导出了求三元数的指数、对数和三角函数的计算公式。
参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：
“三元数的指数、对数和三角函数”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3785

luyuanhong

我经过研究，又进一步推导出了三元数函数的导数和积分的定义，和一些有关的定理和计算公式。
参看我在《数学中国》论坛上发表的帖子：
“三元数函数的导数和积分”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3791

無言

该“四元数”实际上是实数在参与变换,应该不能算新数,除非有另一类数能使得i^2=j^2=k^2=1。
陆先生的三元数按i^2=j,j^2=i推得ij=1和i^3=j^3=1,取r^3=1中的两个复数解，实际上是复数在参与的变换?

数学小不点

   楼主看来也是一个代数高手，值得深思！
   不过，如果纯粹是复数或实数的一种翻译对应，那就需要认真研究了。
   那么，楼主的意见，推广数系应如何进行，才能避免出现同源对应呢？

luyuanhong

無言提出的四元数，非常有意思，很有道理，给出的加减乘除计算公式，也都很正确。
只是除法公式还可以化为下列更简单、更对称的形式：

关于三元数、四元数与实数、复数的“翻译”对应问题，我觉得这就像一个人，与落在地上的他的影子的关系：
影子的一举一动，都模仿人的一举一动，但是，人并不等于就是影子，人比影子要复杂得多、丰富得多。
就拿無言提出的四元数来说，虽然根据 ij＝ji＝k，ik＝ki＝j，kj＝jk＝i 来看，可以“翻译”成实数：
    {i,j,k}＝{1,1,1} 或 {i,j,k}＝{-1,-1,1} 或 {i,j,k}＝{-1,1,-1} 或 {i,j,k}＝{1,-1,-1} 。
但是，按照四元数的定义，严格来说，i,j,k 应该看作是与任何实数都不相等的的特殊元素。
我们只要承认 i,j,k 实际上是不同于实数的特殊元素，四元数就不会等同于实数，它具有实数不具有的许多特殊性质。
例如，在四元数中存在零因子：设 x＝1+i≠0，y＝1-i≠0，有 xy＝(1+i)(1-i)＝0 ，像这样的性质，实数是没有的。

wxz168

一个好论文。

無言

[这个贴子最后由無言在 2008/05/07 11:24am 第 2 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2008/05/06 10:45am 发表的内容：
無言提出的四元数，非常有意思，很有道理，给出的加减乘除计算公式，也都很正确。
只是除法公式还可以化为下列更简单、更对称的形式：
关于三元数、四元数与实数、复数的“翻译”对应问题，我觉得这就像一个人！?..

陆先生言之有理，下面方法可生成n元数：