ｎ元数的指数、对数和三角函数

zhaolu48

所以称x=a(1)+a(2)i+a(3)i^2+…+a(n)i^(n-1)为n元数，关键是在i^n=1。
不妨设您的二元数集为Q(2),k元数集为Q(k)。
因为在Q(k)中，只有i^(k-1)=1，
因此Q(2)不包含于Q(3),…,Q(n-1)也不包含于Q(n)。
从而Q(k)不是Q(k-1)的扩张，因此Q(n)不能成为复数集的扩张。
从而实质上与n维空间的“对应”也只是形式，因为{x}只有它自己是“n维”的，没有低维的子空间。
如果只把x看成是一个n维向量，那么也用不着定义i^n=1。

zhaolu48

陆老师，在您的三元数集中，-1的3次根是什么？
能表示出来吗？

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/21 07:40am 发表的内容：
陆老师，在您的三元数集中，-1的3次根是什么？
能表示出来吗？

在三元数中，-1 的 3 个三次方根为 -1 ，-i ，-j （即 -i^2 ）：

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/04/21 04:51pm 第 3 次编辑]


终于初步理解了您的n元数的奥密。
不过您求对数时，把“周期性”给丢了。用复函的观点，您给出的对数只是主值。因此用对数的方法求m次方根，只有一个。
对您的n元数，求m个m次方根有还一个方法，就是先用1,i,i^2,…,i^n-1将“√－1”线性表出，即先求-1的一个平方根，比如四元数中,i^2就是-1的一个平方根。
然后再用复数开m次方的方法求出它的m个根，再把“√－1”代入“合并实数”部分，就得到了m个根。
因此我认为您的n元数，多少带点“二元”性。
尽管如此，您也推翻了外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯等，分别于1861、1870、1878年独立地获得了相近的结果, “如果保存普通代数的所有基本性质不变,要构成比复数更一般的数系是不可能的”的证明。
不是他们证明有什么逻辑错误，而可能是他们总要令
(i(1))^2=(i(2))^2=(i(3))^2=…=(i(n-1))^2=-1吧？

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/21 04:39pm 发表的内容：
终于初步理解了您的n元数的奥密。
.....
尽管如此，您也推翻了外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯等，分别于1861、1870、1878年独立地获得了相近的结果, “如果保存普通代数的所有基本性质不变,要构成比复数更一般的数系是不可能的”的证明。
不是他们证明有什么逻辑错误，而可能是他们总要令
(i(1))^2=(i(2))^2=(i(3))^2=…=(i(n-1))^2=-1吧？

我在网上介绍的“满足交换律和结合律的ｎ元数”，并没有推翻了外尔斯特拉斯、戴特金、弗罗宾纽斯等，
分别于 1861 年、1870 年、1878 年证明得出的结论：
“如果保存普通代数的所有基本性质不变，要构成比复数更一般的数系是不可能的”。
因为，“普通代数的所有基本性质”即域的基本性质，共有 9 条，其中有一条是“没有零因子”，
我介绍的“ｎ元数”，能够满足所有其余的 8 条性质，但是，并不能满足“没有零因子”这样一条性质。
在“ｎ元数”中，是有零因子的。所以，数学大师们给出的证明和结论，都没有错，是完全成立的。

zhaolu48

那么红似火的复数更是不可以了。
他直接就是令i^2=j^2=-1，ij=0。

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/21 08:53pm 发表的内容：
那么红似火的复数更是不可以了。
他直接就是令i^2=j^2=-1，ij=0。

我前面说到的：“白烁星，韩江燕在《超越复数的三元数——从复平面到三维数空间》一文中，提出一种三元数。”
就是网上用网名“红似火”（“伐木道人”）提出的三元数。
这种三元数，不仅不满足“不存在零因子”的条件，而且还有一个更大的缺点，就是：不满足乘法结合律。

zhaolu48

凯莱的八元数也不满足乘法的结合律。

zhaolu48

陆老师：
构造一个n维复数，一般不满足乘法对加法的分配律，但是这种性质恰好反映了维数大于2的欧氏空间内向量的合成与旋转的性质。
比如两向量合成后沿其经线方向旋转角θ即纬度角改变θ，与先把两向量的纬度角改变θ后，再合成，其结果一般是不同的。
那么这种n维复数的乘法不满足对加法的分配率是其优点还是缺点呢？
是应该肯定呢，还是应该否定呢？

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/04/22 11:01am 发表的内容：
陆老师：
构造一个n维复数，一般不满足乘法对加法的分配律，但是这种性质恰好反映了维数大于2的欧氏空间内向量的合成与旋转的性质。
比如两向量合成后沿其经线方向旋转角θ即纬度角改变θ，与先把两向量的纬度角改变θ后，再合成，其结果一般是不同的。
那么这种n维复数的乘法不满足对加法的分配率是其优点还是缺点呢？
是应该肯定呢，还是应该否定呢？

可以从各种不同的角度，来看这类问题，不能简单地说“肯定”或“否定”。
比如说，从数学完美性的角度来看，构造一个数系，它能够满足的运算规律，当然是越多越好。
而从另外一种角度来看，为了某种实际应用，也许有些运算规律不满足，反而更好，也是完全有可能的。