这么一个简单的浮沉数列，就是写不出通项公式，盼高手

Bardo

楼上：你能否给出具体的公式？
先谢谢了

Bardo

我觉得nmgnewsun 方法可能有问题，因为，我也想过，但是，这个数列这样排列，目的是让大家看到其中的规律，如果四列变成三列，则第一列是前面的数的逐行展开的规律就不见了。

大傻8888888

   可以很明显的看出这是4进制的问题。第4位是3，第16位是5，第64位是7.......一直到第4的n次方位应为2n+1.因为第4位是3，根据题意第1位应3-2=1，第2位和第3位应为3-1=2。第5位到第16位应这样讨论，第8位和第12位应2*2+1-1加上第16位，就可求出5至16的值。同样第17位到64位先求出第32位和第48位应为2*3+1-1加上第64位可求出第20，24，28，36，40，44，52，56，60位的值。这样17至64的值都可求出来。一直进行下去可求出所有的值。这很麻烦。我们可以这样简化，如果一个值位于4的（n-1）次方和n次方之间，得出2n+1去减这个值除以4的（n-1),(n-2)......3,2,1次方后余数所对应的值即可。至于余数所对应的值是多少？因为时间关系就不说了。如果曾经钻研过这个问题应该知道。

大傻8888888

   这个问题也可以这样考虑，任意一个数都可以把它变成4进制的形式。如897可以变成4进制的32021，这个数小于4的5次方，所以它在这个浮沉数列中的值小于2*5+1，其中余数是2和3应去掉1，余数是1应去掉2，余数是0不动。可知897在这个浮沉数列的值为2*5+1-1-1-1-2=6。这个结果我是算出来的，对不对您可以验算一下。我想应该是对的。虽然仍写不出通项公式，但对求一个比较大的数还是方便的。如有不对的地方，欢迎批评指正。

nmgnewsun

不好意思，10楼确实有点问题。
不过似乎可以这样考虑。
1-4，4-16，17-64，65-256......
将n-1用4的k次方除，再用4的k-1次方，...一直到用4除。
然后得出规律，
应该随着n的增加，循环以4的密增加。
第二列和第三列相等。

Bardo

我觉得，这种讨论当然可以，但是，这些讨论目前仍停留于表面现象的归纳与分析，离真正的得到公式还相当遥远。
任何数都可以算出来，但能通用于任何数的公式并不是任何数都能算出来就可以找到的。
例如，费波拉契数列，人们也是找了很久才找到其公式。这个数列实际并不易于费波拉契数列，所以，简单的初级的方法或许并不一定能行得通
这如同哥德巴赫猜想一样。当然，这个又跟猜想不一样，因为其无名，也无国际上的奖金。但它确实是一个非常重要的数学问题，并且与计算机应用密切相关。

Bardo

下面引用由nmgnewsun在 2008/08/01 04:46pm 发表的内容：
不好意思，10楼确实有点问题。
不过似乎可以这样考虑。
1-4，4-16，17-64，65-256......
将n-1用4的k次方除，再用4的k-1次方，...一直到用4除。
...

这样得出的算法，好象也不能归纳出公式。而是一种未知的递归计算。因为一个数，你根本不知要算几次。

Bardo

下面引用由大傻8888888在 2008/07/30 09:36pm 发表的内容：
这个问题也可以这样考虑，任意一个数都可以把它变成4进制的形式。如897可以变成4进制的32021，这个数小于4的5次方，所以它在这个浮沉数列中的值小于2*5+1，其中余数是2和3应去掉1，余数是1应去掉2，余数是0不动　...

你实际是了发现了它的一个用途而已。但这也是得不到公式的。因为，你的运算次数仍是不确定的。如何写成公式？

大傻8888888

   Bardo:
   不知道您想求多大数字的值。
   一亿以内的数字换成4进制不超过20位，最多减20次即可。并不是所有的数学题都可以写出通项公式，素数就没有通项公式。

Bardo

一亿的根本算不了什么。关键是要处理的数可能是1亿位的数。
所以，没有公式，根本是行不通的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Bardo 在 时添加 -=-=-=-=-
以前也有人说，费波拉契数列是没有通项公式的，但实际上，现在就有人写出了通项公式。