关于连续统假设的否定性证明（摘要）

数学爱好者A

那你这样解决连续统假说好象也就没什么意义了！
另外ZFC定义的集合都是存在而非构造！
真正的连续统假说的否定应该是：
存在一个集合A。存在一个A的子集B能与自然数集合N一一对应，但A不能与N一一对应。同时实数集合R的一个子集C能和A一一对应，但R不能和A一一对应！
只要找到这个集合就否定了连续统假说

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（5）
吕陈君
摘要：本节将列出否定连续统假设所需的全部定理，并对某些定理的意义作些适当的说明，但有关哲学讨论将放在下一节来做最后的说明。
五、否定连续统假设的定理序列
首先，我们给出：在超幂扩充f：x→x′中，有关基数大小比较的四个定理。
（定理）对于f：x→x′，1）若x′为一闭域（一致的），则f（x）的基数≤x的基数；2）若x′为一开域（完备的），则x的基数﹤f（x）的基数。
（定理）对于f：x→x′，1）若x′为一闭域（一致的），则f（x）的基数＝f（x′）的基数；2）若x′为一开域（完备的），则 f（x）的基数﹤f（x′）的基数。
（定理）对于f：x→x′，若x′为一闭域（一致的），则f（x′）的基数＝f（｛x′｝）的基数。
（定理）对于不同超幂扩充f1：x→x1和f2：x→x2，若f1（x）的基数﹤f2（x）的基数，则x1的基数﹤x2的基数。
我们从自然数集ω0开始，通过超幂扩充f的方法，不断形成更大的无穷集合
ω0：1，2，…，n，……
ω1：f（1），f（2），…，f（n），……
…
ωi：f ^i（1），f ^i（2），…，f ^i（n），……
……
或者写成超幂扩充的形式
f ^1：ω0→ω1
f ^2：ω1→ω2
…
f ^i：ωi－1→ωi
……
把所有f ^i概括成一个全函数，即
F：ω0→ran（F）
ran（F）就是由所有的基域ωi构成的全域，F（ω0）由所有的类f ^i（ωi－1）构成的模型。这里关键的是，我们必须要有这样一种直观的数学思想：无穷多个“点”或“元素”，如果按照某种有规律的递归方式，就可以“凝聚成”一个更高层次的“点”或“元素”；或者这样讲，按照替换公理，一个元素μ按照某个单值函数f，就可以变换成一个“函元素”f（μ）。
（定理） 对于任一f ^i：ωi－1→ωi，都有ωi－1的基数﹤ωi的基数。
这个定理就保证了康托意义上越来越大的超穷基数（阿列夫）的存在性。
（定理） 对于任一f ^i：ωi－1→ωi，ωi－1都为一开域（完备的），ωi都为一闭域（一致的）。
这就意味着，在构造性的情况下，任何无穷集合（包括自然数集ω0）的幂集合都是不存在的。
（定理） 对于任一f ^i：ωi－1→ωi，都有f ^i（ωi－1）的基数＝ω。
f ^i（ωi－1）又称为ωi－1的一个类，上述定理就意味着：所有的类f ^i（ωi－1）都是可数的。这个定理可以看成是勒文海姆－斯科伦定理的一种等价形式，该定理有个令人感到奇怪的结论，它断定任何超穷集合都有一个可数模型。由上述定理可直接得到
（推论） F（ω0）为一可数模型，即F（ω0）的基数＝ω。
（定理） 对于任一f ^i：ωi－1→ωi，在ωi－1和ωi之间没有其他基域（超穷基数）。
最后，我们构造两个不同的超幂扩充
F：ω0→ran（F）
f：ω0→P（ω0）
已知P（ω0）的基数＝2 ^ω，最后得出如下结论
（定理） ran（F）的基数﹤2 ^ω。
上述定理就意味着：所有的超穷基数（阿列夫）都小于连续统的势。这就对连续统假设作出了一种否定性的证明。
（未完待续）

数学爱好者A

但如果你的超穷基数都能和自然数做一一对应，那么这个连续统假设否定的意义也就不大了！

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（6）
吕陈君
摘要：本节将对证明的结果进行最后的说明和解释，我尽量说得详细一些，因为这是最后一篇帖子，但恐怕也只能给大家一种印象性的结论了。
六、结论和讨论：最后的说明
最后，我得写点解释性的文字，让大家对这个证明尤其是其基本思想，能形成一种直观的印象，并能对它形成一定的信任感。我分三个部分来谈；
第一，先谈这个证明结果究竟意味着什么。任何阿列夫（超穷基数）都小于连续统的势，这就意味着：在自然数集和实数集之间还存在着无穷多个其他的超穷集合。康托集很可能就是这样的一个集合，它是一个不可数的离散集，是典型的“病态集”。由于一一对应的关系，代数集可能很难显示出这种“病态集”的性质，但在图论里这种“病态集”还是比较常见的。也就是说，用代数的方法，可能作不出自然数和实数之间的超穷集合，因为这些集合都是一一对应的，但采用作图的方法可能会显示出这些超穷集合的存在。柯朗尼克有句名言：“上帝创造了自然数，其他一切都是人造的”，但我的理解恰好相反：“上帝创造了实数，人类创造了自然数，但人类可能永远也无法完全了解上帝所创造的奥秘。”数学归纳法是人们唯一能够确定无穷集合属性的工具，而数学归纳法、递归、计算等，都是以自然数为“原型”的，这是人类的思维方式，不是上帝的创造，但用这种不可能穷尽全体实数。实数的存在是非构造性的，是先验的、不可知的，是上帝的创造，连续统是宇宙的幽邃的背景，是生命绵绵不息的存在家园。我们可以像信仰上帝那样肯定全体实数的存在，但却永远也不可能完全了解它。从古希腊以来，人们一直都在探寻连续统之谜，但此证明结果却表明：对于这个谜，人类永远也不能得到最终的答案。整体上讲，这个证明结果就反映了这种思想。
第二，这个证明结果究竟有多少可信度呢。我只引用哥德尔和柯恩的意见，他们两人都认为连续统假设是不成立的（参见《关于连续统假设的评论》一帖），特别是柯恩明确说过：“由构造幂集提供的连续统，不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可以达到的。这样，2^ω将被认为大于ω1，ω2，ωn的基数。”这就是我所证明的结果，这在直观上也是非常简洁和优美的。
第三，这个证明方法或思想是否正确呢。对所贴的这个证明大纲，读者可能是难以理解的，就是看论文也很难看懂，我在第一个帖子中就说过，这就像看电脑说明书，很难看懂，但操作一下就明白了，如果给我一块黑板，我能比划着说清楚。在数学上，如果一个理论（证明）的基本原理足够简单明白，在推导过程中不会出现自相矛盾，并且能够推导出足够丰富的数学内容，它在数学上就是可以成立的。对这个证明，我花了近十年的时间，来搞清楚它的全部细节，对上述三个条件，我认为它基本上还是具备的，我作出了一个数学结构并阐明了其数学涵义，特别是对于其中的美妙，如果不是深深感受到，我是不会如此长久地痴迷于其中的。但是，我并不觉得自己发现了“真理”之类的东西，我越来越觉得自己只是制作了一件艺术品，譬如像画了一幅画、写了一首音乐或一部小说，它只是我创造的一套“符号游戏”而已。外尔说过数学理论也是艺术创造的观点，我有深刻的感受。
但是，我离最终解决连续统假设还有“最后一步”，靠我自己的力量是很难完成了。我一直都想找到一位数学专业人士，一起来创作最后的论文，在数学形式上再规范、严谨一些，在数学文献上再充实、完整一些，这样就可以了，说不定还会产生新的思想。有兴趣的朋友可与我联系！（我的邮箱是：cjcucq@sina.com）
（完）

数学爱好者A

只要你承认集合的公理体系。包括自然数在内，都可以用集合来定义。包括实数再内！

申一言

  "数"是什么?
  弄清楚了就好办了!