我怎样看“0”和“无穷小量”的关系

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:14pm 第 1 次编辑]

一个半径为无穷大量的圆，像普通的圆一样，与它的外切正方形，只有四个切点。

申一言

谢谢陆教授不厌其烦的教导!
    该问题是纯粹数学的根本!
        了解了她,就基本了解了纯粹数学!

                                             谢谢!

数学爱好者A

下面引用由luyuanhong在 2008/08/28 05:02pm 发表的内容：
  我在上面第 5 楼中已经陈述过我的观点：
“半径是无穷大量的圆”，与“真正的直线”是有区别的，从这个意义上，可以说：“半径为无穷大量的圆不是直线”。
  从“非标准分析”的观点看来，“半径是无穷大量的 ...

如果 从“非标准分析”的观点看来，那么无穷大量不是实数，不具有阿基米德性，那么怎么能定义圆的半径呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:16pm 第 1 次编辑]

“非标准分析”把“无穷小量”和“无穷大量”作为实在的数学对象，引入到实数中。
实数中引入了“无穷小量”和“无穷大量”后，扩充成为“超实数”。
“超实数”可以像实数一样，进行各种运算，服从同样的运算法则，除了不具有“阿基米德性”以外，两者几乎没有什么区别。
凡是实数可以做的事情，“超实数”同样都可以做。实数可以作为一个圆的半径，“超实数”当然也可以作为一个圆的半径。
“超实数”中包括“无穷大量”，所以“无穷大量”当然可以作为一个圆的半径。为什么不可以呢？
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关于“阿基米德性”，我也要补充说几句：
所谓“阿基米德性”，是说：“对于任何一个（普通的）实数，总是可以找到一个比它更大的（普通的）整数。”
在超实数中，一个正无穷大量，比任何普通的实数都大，当然也比任何普通的整数都大，所以，对于一个正无穷大量来说，
显然找不到比它更大的普通的非无穷大整数。正是在这个意义上，我们说：“超实数不具有阿基米德性”。
但是，在超实数中，除了普通的整数以外，还有无穷大整数。无穷大整数，与普通的非无穷大整数一起，构成了“超整数”。
显然，对于任何一个具体的正无穷大量超实数，我们总是可以在“超整数”中找到一个比这个正无穷大量更大的无穷大整数。
所以，如果我们把“阿基米德性”作一点推广，把它改成：“对于任何一个超实数，总是可以找到一个比它更大的超整数。”
那么，这样推广后的“阿基米德性”，就不仅对于普通的实数成立，对于超实数同样也可以成立了。

申一言

啊!
   看起来基础数学是要纠正一下错误了!?
   让陆教授都说起咬口令来了?
   整数---实数----超整数---超实数---???
      我又学到了不少没有听到过的知识!
                                       谢谢!

数学爱好者A

但我们定义的圆是这样一个集合
A={(x,y)|(x,y)∈R*R∧((x+a)^2+(y+a)^2)=r^2,a,b,r为实数}.。
如果使用了超实数。那么怎么定义圆？
再说超实数的运算规则与实数也不一样。实数也不能通过自身运算变成超实数吧？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:16pm 第 1 次编辑]

在超实数中定义圆，只要把圆的定义中的“实数”都改为“超实数”就可以了。
凡是对实数成立的各种运算法则，如果把其中的“实数”都改为“超实数”，对超实数仍然成立。
如果你觉得上述说法不对，请举例详细说明。
另外，楼上说：“实数也不能通过自身运算变成超实数吧？”我不明白是什么意思，也请详细说明一下。

大傻8888888

    直线就是直线。接近直线就是接近直线。直线不是接近直线，同样接近直线也不是直线。仅此而已！

刘合亮

[这个贴子最后由刘合亮在 2008/08/31 10:25pm 第 1 次编辑]

这里有一个理论与实际的问题。不过这个问题在哲学上已解决，但在数学上尚未彻底解决。

大傻8888888

   我们讨论的就是理论问题。在实际中0与无限小是分别不出来的，但是并不等于它们相等。