[推荐]三元数的几篇文章

simpley

陆教授:
对您的这个运算体系仍然有不能理解的地方,请给予讲解:
令ab=ac(a≠0)
因为存在有零因子,所以不能得出b=c
(实际上通过陆教授在文中推出的三元数是零因子的充分必要条件也可以得出这个结论)
但因为存在乘法的逆运算,所以可以:
(a/a)b=(a/a)/c(a≠0)
b=c
这样就得出与上面不一样的结论.
不知道这是怎么回事?

simpley

我观点是,一个环如果有零因子,在乘法上就不能逆运算;如果能逆运算,就没有零因子.
如同余运算,有零因子
7a≡7b(mod7)
如果存在逆运算,就得到a≡b(mod7)这显然是不对的.

luyuanhong

注意：“有逆运算”并不等于说“每一个元素都有逆元”。
例如，在实数域中，我们问：“乘法有没有逆运算？”大家都会回答：“有逆运算，乘法的逆运算就是除法。”
然后问：“在实数域中，是不是每一个元素都有乘法逆元？”大家都回答：“不是，例如 0 就没有乘法逆元。”
对于有零因子的三元数，也是这样。
在三元数中，可以定义乘法的逆运算——除法。所以我们说：“三元数中的乘法有逆运算。”
但是，在三元数中，并不是每一个元素都有乘法逆元，例如 0 和零因子就没有乘法逆元。
我在定义三元数的除法运算时，就已经说明了：只有当除数不是 0 或零因子时，才可以做除法运算。
这也就是说，在三元数中，0 和零因子都是没有乘法逆元的。所以，三元数的乘法不能构成一个群。

simpley

是的,乘法不是群(我原来说是群是错的)
但我认为一个元素有逆运算”等价“这个元素都有逆元.0没有逆运算,所以0没有逆元.
而且,下面的推理是没有问题的:
令ab=ac(a≠0)
因为存在有零因子,所以不能得出b=c
但因为存在乘法的逆运算,所以可以:
(a/a)b=(a/a)/c(a≠0)
b=c
这样就得出与上面不一样的结论.
这里特别指出了a≠0.
实际上,您在三元数里找两个不相等的零因子,b,c
就可以找到一个a,使得ab=ac
同样也可得到b=c

simpley

现在我构造一个这样的表达式
(1+i+j)(1+j-2j)=(1+i+j)(1-2i+j)
(1+i+j)存在逆运算.所以
(1+j-2j)=(1-2i+j)
就得到了一个矛盾的结果

simpley

对,如果您规定0和零因子不能参加逆运算,就把这个漏洞堵住了.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/15 11:48pm 第 1 次编辑]

“在一个数系中乘法有没有逆运算”与“对数系中某一个具体元素来说，有没有乘法逆元，能不能做乘法逆运算”是两回事。
例如，在实数域中，乘法有逆运算——除法，但是对元素 0 来说，没有乘法逆元，不能做以它为除数的除法运算。
又例如，在三元数中，乘法有逆运算——除法，但是对 0 和零因子来说，没有乘法逆元，不能做以它们为除数的除法运算。
在我定义的三元数中，一个非零三元数 x=a+bi+cj 是一个零因子的充分必要条件是：
  或者有（1）a+b+c=0 或者有 （2）a=b=c 。
在你所举的例子中，1+i+j 正好符合上面的第（2）条，所以它是一个零因子，零因子是没有逆元的，也是不能做除数的。
所以，从等式 (1+i+j)(1+i-2j)=(1+i+j)(1-2i+j) 的两边不可以同时除以 1+i+j ，得出 1+i-2j=1-2i+j 这样的结果。

simpley

在我看的那个链接中因为没有讲明零因子不能参加逆运算,所以我没有搞明白.现在完全明白了.

数学小不点

     如果luyuanhong老师，在原来的定义中去掉一些东西，好像从结构上有些单调，不再符合简单的对称美，在理解上，也不如原来的定义明确，读者希望第一眼就可以理解这个理论，过于要求严谨，会降低文章的可读性和优美结构，行文变得有些生硬，所以，我的观点，不必刻意追求所谓严谨而降低论文的可读性，数学上的严谨也是相对而言的，结构上的简单、优美、对称也是应该予以考虑的重要东西。
     对于零因子做除法，我的看法是，不必排除在外，如果在复数理论中，允许0作除数，一种情况是得不到任何复数（n/0时），一种情况是任何复数均可（0/0时），从逆运算出发，可以允许这种运算，只是所得的结果要么没有一个数，要么是所有的数，运算可以，结果分开讨论即可，这样，就可以让所有的运算通行无阻，避免说：不允许这种运算，而改说，这样运算可能无解，也可能有无穷多解，后一种说法，更为妥当一些。数学语言中，允许各种运算进行，依结果讨论更为民主，也更为科学。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
数学语言中，武断的不允许一种运算，我认为有些不妥，毕竟数学研究还是少些人为的语言更好，数学不需要法官式的论述，而只存在更好的探讨。

simpley

允许0作除数，会得到逻辑上的矛盾。