非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

pAq

即是对于
［无穷单位元 Ω  是一个常量(A)，是一个类似于普通实数的数(B)，所以说它是一种“实无穷”(C)］
请举例说明为什么存在
（1）自反性：AＲA；
（2）对称性：AＲB，则BＲA；
（3）传递性：AＲB，BＲC，则AＲC。
的等价关系Ｒ？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/18 00:14pm 第 3 次编辑]

下面引用由pAq在 2009/03/18 11:14am 发表的内容：
即是对于［无穷单位元 Ω  是一个常量(A)，是一个类似于普通实数的数(B)，所以说它是一种“实无穷”(C)］
请举例说明为什么存在
（1）自反性：AＲA；（2）对称性：AＲB，则BＲA；（3）传递性：AＲB，BＲC，则AＲC。
的等价关系Ｒ？

上面的 (A)(B)(C) 都是一些通俗的说法，不是严格的数学定义，它们之间不存在严格的“等价”关系，只能作一些通俗的说明和解释：
因为无穷单位元 Ω  基本上“具有正整数的一切性质”，很像一个正整数，所以说： Ω  “是一个类似于普通实数的数”。
一个实数就是一个常量，既然 Ω  类似于一个实数，那么在这个意义上，也就可以认为 Ω  “是一个常量”。
“潜无穷”“实无穷”其实只是一些人提出的通俗的说法，并没有严格的数学定义。简单说来，
把无穷大量看作是一个“要多大就多大”的变量，就是“潜无穷”的观点；把无穷大量当作一个具体的数来处理，就是“实无穷”的观点。
我们把 Ω  看作“是一个类似于普通实数的数”，看作“是一个常量”，显然不属于“潜无穷”的观点，而是一种“实无穷”的观点。

pAq

    【上面的 (A)(B)(C) 都是一些通俗的说法，不是严格的数学定义，它们之间不存在严格的“等价”关系】
    这就是说，在【无穷单位元 Ω  是一个常量(A)，是一个类似于普通实数的数(B)，所以说它是一种“实无穷”(C)】中的三个“是”，是似是而非的。
    既然“ Ω  是一个常量”，“在实数域中是显然不存在的”，那么它是如何“大于任何实数”的呢？

ygq的马甲

下面引用由ygq的马甲在 2009/03/16 00:00pm 发表的内容：
实际上，这种“无穷单位元”，就是“维度”上增加 1 后的情况
点： 0 维 =======> 那么“无穷单位元”的维是 1
线： 1 维 =======> 那么“无穷单位元”的维是 2
面： 2 维 =======> 那么“无穷单位元” ...

【证明】办法之一就是：两者都遵守“形式”逻辑的同一律；然后再从“形式”逻辑的同一律【推理】出：“（1）自反性：AＲA；”等

既然“ Ω  是一个常量”，“在实数域中是显然不存在的”，那么它是如何“大于任何实数”的呢？

维度 n 与维度 n+1 的情况，

申一言

哈哈!
      ygq的马甲会扯皮了?
      扯皮扯的很好啊????皮 ?
   

luyuanhong

下面引用由pAq在 2009/03/18 03:58pm 发表的内容：
既然“ Ω  是一个常量”，“在实数域中是显然不存在的”，那么它是如何“大于任何实数”的呢？

非标准分析把实数域扩充为“超实数域”。平时我们看到的实数域，包含在超实数域中，只是超实数域中的一部分。
Ω  是在超实数域中的一个常数，它不是一个实数，它不在实数域中，而是在实数域外面，它比在实数域中的任何实数都大。
除了 Ω  以外，在超实数域中还有许许多多其他的无穷大量。这些无穷大量，也都不是实数，也都不在实数域中，而是在实数域外。
超实数域中的无穷大量，它们的绝对值都大于在实数域中的任何实数。
其实，在非标准分析中，无穷大量的定义，就是“绝对值大于任何正实数的超实数”。

hxl268

标准分析与非标准分析等价的原因 数列A ：0.1，0.01，0.001，…，1／10n，…的充分后的项都是＜“任意给定”的正数ε的正数——本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而“化解了无穷小危机”，然而又从后门“神不知、鬼不觉地溜进”了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。例如一长度是有穷数的弧由无穷多部分组成，各部分都几乎是相应的长度是无穷小正数的直线段，所有直线段的总长与某有穷数a只有一无穷小数的差别，显然a就是弧的长度；一常观曲面块由无穷多部分组成，各部分都几乎是相应的平面块，…。这种借助有穷数之外的无穷小数（其倒数是无穷大数）求有穷数的思想方法是实践远远走在理论前面的对无穷数只有感性认识的非常直观明了的200年无穷小分析（相应的分析力学中有起决定性作用的无穷小数位移概念）的思想精髓、根本大法；本文揭示否定此精髓的百年标准分析自相矛盾，从而极难学难教。 本文证明了无穷数的客观存在性，从而化解了第二次数学危机。 从力学史来看“给质点一虚位移以求出…”其实是“…一无穷小位移…”，只是因有无穷小危机而不得不改称为…罢了。其实要清楚地而不是模糊不清地论述“变分法”就不能不说虚位移εh（t）中的ε是“无限小的常数”（卢圣治，变分法初步，大学物理，1988（4），39页）。丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学…。 以上引自黄小宁《50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1》

pAq

lu 先生：
实数x→∞是无上界（"要多大就多大"）的。
您在[第 16 楼]没有说明：
常量Ω是如何“大于任何实数”的？
不会是【在思想中作一个大胆的"跳跃"】就让 Ω 跳出了“上不封顶”的实数域吧。
Ω-x=？

ygq的马甲

下面引用由pAq在 2009/03/19 09:23am 发表的内容：
lu 先生：
实数x→∞是无上界（"要多大就多大"）的。
您在没有说明：
常量Ω是如何“大于任何实数”的？
...
lu 先生：
实数x→∞是无上界（"要多大就多大"）的。
您在[第 16 楼]没有说明：
常量Ω是如何“大于任何实数”的？
不会是【在思想中作一个大胆的"跳跃"】就让 Ω 跳出了“上不封顶”的实数域吧。
Ω-x=？

实际上是观念上的“扩张、扩展ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”，举例来说，
数轴上的实数 x→∞是无上界（"要多大就多大"）的。
但对于“面积”这种二维来说。必定伴随“维度”等某些方面的不同的。，“面积”元就是 Ω

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/19 03:44pm 第 1 次编辑]

下面引用由pAq在 2009/03/19 09:23am 发表的内容：
lu 先生：
实数x→∞是无上界（"要多大就多大"）的。
您在没有说明：
不会是【在思想中作一个大胆的"跳跃"】就让 Ω 跳出了“上不封顶”的实数域吧。
Ω-x=？

在思想中作一个大胆的“跳跃”，简单地说，就是接受“在实数域外还有比任何实数更大的数”这样一个概念，
用你的话来说，也可以说就是“让 Ω  跳出了‘上不封顶’的实数域”吧。
【 你可以想一想当年数学是怎样从实数域扩充到复数域的。
那时，也是需要人们在思想中作一个大胆的跳跃，接受“在实数域外还有像 -1 的平方根的那样的虚数”这样一个概念。
用你的话来说，也可以说就是“让虚数单位元 i 跳出‘一个数平方后不会小于0 ’的实数域”吧。】
你问：Ω－x＝？ ，很简单，它就等于 Ω－x ，它也是一个在超实数域中的无穷大量，是一个比 Ω  小 x 的无穷大量。
【 也可以用复数作一个类比，比如有人问你： i－1＝？ ，你怎么回答？
你一定会回答：它就等于 i－1 ，它是一个复数，是一个将 i 减去 1 后得到的复数。】