复数与平面几何

denglongshan

用共轭比太容易，其它方法比较困难，参考 http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=4184165&thesisid=494

zwp

dddddddddddddddddddd

denglongshan

下面引用由denglongshan在 2009/01/21 08:02am 发表的内容：
设A和B是圆Z0：（z-z0）（z';-z0';）=r^2的两点，AB直线的共轭比
kAB=（a-b）/（a';-b';）==（a-b）/[r^2/（a-z0）-r^2/（b-z0）]=-（a-z0）（b-z0）/r^2=）]=-（a-z0）/（b-z0）';=-（b-z0）/（a-z0）';

如果圆Z0在原点，上式简化为：kAB=（a-b）/（a';-b';）=-ab/r^2=-a/b';=-b/a';,如果圆Z0是单位圆，kAB=-ab。

denglongshan

[这个贴子最后由denglongshan在 2009/01/24 08:19pm 第 1 次编辑]


要点：设圆心与原点重合，这个圆是单位圆，可以求出kAM=abc(b+c-2a)/[a(b+c)-2bc],kAP=[2abc-a^2(b+c)]/[2a-(b+c)],其余就很简单了，用luyuanhong主贴中的判定方法略为麻烦。

天山草

本人认为：
   唐灵由“共轭比”导出的一些公式（定理）在解决个别几何问题中显示出了它的优势，但这只是“战术性”的胜利。能否引发“战略性”的轰动效应，也就是：能够解决“一大批”传统方法难以解决的问题，是争论的焦点。
   如果唐先生能多举出一些实例来（不要举出一些用通常方法就能证明的例子），那就更有说服力了。
   用一个例子说明上述观点：
   用物理概念来证明几何定理。算不算创新？——在三角形的三个顶点处各放置一个质点，其质量都是 m，根据重心的概念，可以证明三角形的三条中线交于一点，并且交点位置将中线长分成 2：1 的两段。
   还能够用关于重心的物理概念证明复杂的不等式。
   但是这些知识都没有在中学课本中作介绍。

denglongshan

老朋友：
    感谢关注。
    用“共轭比”概念和借助符号计算软件可以证明一些很困难的定理，例如链接 http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2068 中的难题，已经发现系列关于Feuerbach点的系列结论，传统方法难以解决。现代数学不研究平面几何，应该是这一重要概念不被重视的主要原因。恐怕无论解决再多困难的问题，都难以进入主流，这是由几何在数学中的地位决定的。
    曾经在中学刊物看到用物理概念证明梅涅劳斯定理，既然谈到还能证明复杂的不等式，希望多介绍相关内容。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2009/02/11 11:05pm 第 2 次编辑]

下面引用由denglongshan在 2009/02/02 08:46pm 发表的内容：
曾经在中学刊物看到用物理概念证明梅涅劳斯定理，既然谈到还能证明复杂的不等式，希望多介绍相关内容。

    如上图所示，在第一象限，在对数曲线上放 n 个质点，其质量分别为 m1、m2、……、mn，若它们的重心为 c，则 c 点的坐标如上图所示。  
    经过 c 点作 x 轴的垂线，与对数曲线交于 c1 点，则 c1 点的纵坐标必大于等于 c 点的纵坐标。
    于是可推出“几个正数的算术平均值”大于“几何平均值”。
    几点说明：
（1）质量分别为 m1、m2、……、mn 的 n 个质点，当其重力方向沿 -Y 时，它们对坐标原点的力矩之和为：(m1*x1+m2*x2+……+mn*xn)g，其中 g 是重力加速度。
    若上述 n 个质点的重心为 c，重心的横坐标为 xc， 则重心对坐标原点的力矩为：
    (m1+m2+……+mn)g * xc，
由于 (m1*x1+m2*x2+……+mn*xn)g = (m1+m2+……+mn)g * xc，
所以 xc = (m1*x1+m2*x2+……+mn*xn)/(m1+m2+……+mn)
同理可推出 yc = (m1*y1+m2*y2+……+mn*yn)/(m1+m2+……+mn)
（2）由于对数曲线是“凸曲线”，因此重心一定位于曲线的“下方”，就是说必有：
   ln(xc) 一定大于 yc
（3）只有当所有的质点都放在曲线的同一点上时，它们的重心也在同一点，这时才会有：
   ln(xc )= yc
   也就是说，只有当 x1=x2=x3=……=xn 时，上述不等式才能取等号。

denglongshan

感谢老朋友，需要很长时间才能读懂，有系统介绍用物理方法解决数学问题的科普书籍吗？

木直清风

高中里可能会学到的是平面解析几何和复数与向量，也就复数的基础性的东西被列为高考考查项目，而在数学竞赛里常有用复数方法证明平面解析几何题的例子，一般性的教学中像复数的指数与幅角等就开始有些难度，主要也是个思维方式和熟悉程度的问题。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2009/02/09 08:59am 第 1 次编辑]

下面引用由denglongshan在 2009/02/06 08:03pm 发表的内容：
有系统介绍用物理方法解决数学问题的科普书籍吗？

    上世纪 60 年代有一本书，书名忘了。前面帖子中证明不等式的例子，登在同一时期某期“数学通报”上。
    列举这个例子的目的是想说明，精彩的“个别发现”若不能“发扬光大”，就不能为更多的人知晓。用面积方法证明几何定理，早就为人所知，张景中将其“发扬光大”了，搞出了系列“面积消点公式”，并且与机器证明方法挂上了勾，这就造成轰动效应啦。denglongshan 的发现也是如此，需要再往前走一步。