此发牌游戏之解难于上青天

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-18 18:26
佩尔数列中的勾股数

1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741,13860, ......

非常感谢老师！以后还请老师多指点！
我现在要开始解《发牌游戏之二》了！此题甚难，还不知道我能不能解出啊！！！

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-18 22:23
再生数列中的勾股数

1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,416020, ......

老师您好:
勾股数总公式（本原）:a=（u^2－v^2）/2，b=uv，c=（u^2+v^2）/2，其中u、v为互质的奇数，u＞v
这个总公式可以把a、b、c三个数同时扩大2倍（即去掉分母），得到勾股数全部解的通式（即本原的及倍数的）:
a=u^2－v^2，b=2uv，c=u^2+v^2，其中u、v为任意正整数，u＞v
因此，您说的这个再生数列的任意两个相邻的两项都能构成勾股数组并无特殊！

蔡家雄

勾股数总公式（本原）:a=（u^2－v^2）/2，b=uv，c=（u^2+v^2）/2，其中u、v为互质的奇数，u＞v
这个总公式可以把a、b、c三个数同时扩大2倍（即去掉分母），得到勾股数全部解的通式（即本原的及倍数的）:
a=u^2－v^2，b=2uv，c=u^2+v^2，其中u、v为任意正整数，u＞v

请教 程老师：勾股数(9, 12, 15)，u=?  v=?  有整数解吗？

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-19 10:09
勾股数总公式（本原）:a=（u^2－v^2）/2，b=uv，c=（u^2+v^2）/2，其中u、v为互质的奇数，u＞v
这个总公式 ...

老师您好:学生愚钝，没有仔细考虑，老师说的有理，学生顿开茅塞，我的只是把本原勾股数公式扩大了2倍，并没有扩大3倍、5倍、7倍……，因此，我上楼的观点是错误的，看来，你说的再生数列所产生的勾股数组非常棒！我以后要好好学习。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-18 22:23
再生数列中的勾股数

1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,416020, ......

老师您好:我说得到勾股数全部解的通式（即本原的及倍数的）:
a=u^2－v^2，b=2uv，c=u^2+v^2，其中u、v为任意正整数，u＞v
我说这个公式是全部解是不对的，但是任何两个正整数代入这个公式都能得到一组勾股数，因此，您说的这个再生数列的任意两个相邻的两项都符合勾股方程，恰恰就是符合以上这个公式。

蔡家雄

蔡家雄 发表于 2020-1-20 07:20
本原勾股数新公式

若 2n -1 与 k 互素，

本原勾股数新公式

若 2n -1 与 k 互素，

且 a 与 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣ 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-20 09:43
勾股方程 A^2+(A+1)^2=C^2 有 通解公式，

勾股方程 A^2+(A+7)^2=C^2 有 通解公式 吗？

A^2+(A+7)^2=C^2 有 通解公式啊！
例如，5^2+(5+7)^2=13^2 ，……

蔡家雄

费尔马1 发表于 2020-1-20 10:12
A^2+(A+7)^2=C^2 有 通解公式啊！
例如，5^2+(5+7)^2=13^2 ，……

例如：5^2+(5+7)^2=13^2，这是数字等式，不是代数公式，

非常感谢 程老师！正是与你的交流，

我终于找到了

A^2+(A+7)^2=C^2 的本原勾股数通项公式。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-20 07:51
请 程老师 计算判定

不定方程 a^2+( a+359999 )^2= c^2

本原勾股数新公式

若 p=1，

或 p的素因子均为 2*n^2 - (2k -1)^2 的素数，且 a与p 互素，

或 p的素因子均为 (2n+1)^2 - 2*k^2 的素数，且 a与p 互素，

则 a^2+(a+p)^2 = c^2 是 本原勾股方程。

即：p 均为特定的素数与合数。特定的合数同样成立。

即：p 为其它的素数与其它的合数：不成立。

这个本原勾股数新公式可求出 所有的本原勾股数！！！
359999不是素数，也不是特定的合数，所以a^2+(a+359999)^2=c^2 不是 本原勾股方程。

蔡家雄

判断：359999不是素数，也不是特定的合数，所以a^2+(a+359999)^2=c^2 不是 本原勾股方程。

因为：359999=599*601=(2*18^2 -7^2) * (2*19^2 -11^2)

所以：359999不是素数，是特定的合数，所以a^2+(a+359999)^2=c^2 是 本原勾股方程。