[原创]质数计算公式及质数的判定

cmfok

首先感谢珠穆亚纳版主的鼓励！
我是一个计算机工作者，数论只是业余喜好！因此不可能有大量的时间对此进行研究。望谅！刚才拜读了《数论研究——跛腿的残疾巨人》，（素数定理）等，很受益，谢谢！
其实巨人之腿并不残疾。残疾的是我们的心。自然这里不是讨论的地方。
对（关于素数判定，则已经有很超前的成果）不敢苟同，一个事实是，当今最大质数是梅森素数，不到一千万位。因此可以断定，只有超过对一千万位以上质数能进行断定的方法，才能称之超前。而我的方法可以算上一个，只不过你对它的看法仅停滞在表面。…

zhaolu48

本人对数论是门外汉。
但您的定理1，是《欧几里得几何》、《数学分析》(《微积分教程》第一卷第一分册的前几页)通用的一个公理：阿基米德公理。

珠穆亚纳

     cmfok：其实巨人之腿并不残疾。残疾的是我们的心。我很赞同这个说法！关于素数判定以及梅森素数目前的进展现状，我不知你是否都了解的比较全面，所以，你确应该评论一下素数判定目前理论体系的优劣。我也可以把目前关于大素数判定研究的较近的现状做一总结，以便对照探讨。
    zhaolu48 ：欢迎直接参加讨论。

cmfok

回复：zhaolu48
---但您的定理1，是《欧几里得几何》、《数学分析》(《微积分教程》第一卷第一分册的前几页)通用的一个公理：阿基米德公理。---
阿基米德公元前２８７年出生，欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生。
他通过大量实验发现了杠杆原理，几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。《砂粒计算》，《圆的度量》，《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的 。在这部著作中，他还提出了著名的"阿基米德公理"。《抛物线求积法》，《论螺线》，《平面的平衡》，《浮体》，《论锥型体与球型体》，都是我们熟知的。
丹麦数学史家海伯格，于１９０６年发现了阿基米德给厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的传抄本。通过研究发现，这些信件和传抄本中，蕴含着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到１７世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。正因为他的杰出贡献，美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德。
阿基米德公元前２８７年出生（距今2300多年）（距牛顿微积分的创立者（1642年12月25）1900多年），至于（数学分析）那只是当今的一门课程。研究的是连续的函数，虽然也有级数，那是为了让同学们更好的理解极限的概念。
《欧几里得几何》、《数学分析》(《微积分教程》第一卷第一分册的前几页)通用的一个公理：阿基米德公理。
哈哈！在几何学、数学分析、微积分教程里竟然有数论的公理，真不知天理何在？
如果阿基米德在公元前就有定理1的公式，以后又何来如:
费马数(1601年8月17日)，2的（2的n次方）次方；
欧拉公式(1783年9月18日)：f(n)=n^2-n+41；
勒让德公式：f(n)=2n^2+29；
…
等这些对质数生成公式的错误猜测？难道这些伟大的数学家都不如你博学，不知道“阿基米德公理”的存在吗？
定理1 是属于数论！它如此简单，连一个初中生都能够理解。它又如此精确描述了质数的本质，真是完美！它又如此实用，可以用它来生成至今为止的最大质数，…
它是我发现的，因此叫慈氏定理，慈孟夫的定理。请你尊重他人的心血，尊重他人的劳动！
我是第一次到这里来，本以为搞数学的真就是真，假就是假。真想不到竟有你这样的人，仅刻意曲解他人的发现，真是令人难以置信。不是真理的追求者请离开！

cmfok

珠穆亚纳 :您好！
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关于素数判定以及梅森素数目前的进展现状，我不知你是否都了解的比较全面，所以，你确应该评论一下素数判定目前理论体系的优劣。我也可以把目前关于大素数判定研究的较近的现状做一总结，以便对照探讨。
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我引用一篇文章
魅力无穷的梅森素数
          ——香港科技大学 方程
　
2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GHZ奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大的梅森素数。该素数为2的24036583次方减1(即2^24036583－1)，它有7235733位数(10进制)，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
　
梅森素数的由来
马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。
1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^（P－1）)（2^P－1）是完美数。
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。
梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。即使属于“猜测”部分中最小的M31=2^31－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来解决了。
　
充满艰辛与乐趣的探索历程
梅森素数就像数学海洋中的一颗璀璨明珠，吸引着一代又一代的研究者去探寻。自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。
1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。这是寻找已知最大素数的先声。欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式(2^（P－1）)（2^P－1）,其中2^P－1是素数。这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。
100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。
1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出2^67－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。他第一个否定了“M67为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。1922年，数学家克莱契克进一步验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。
1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp＞3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。
“手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其后，M3217在1957年被黎塞尔证明是素数；M4253和M4423在1961年被赫维兹证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213－1是个素数”的邮戳。
1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M19937的消息。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。
随着素数P值的增大，每一个梅森素数Mp的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M23209时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M86243、M132049和M216091。但他未能确定M86243和M216091之间是否有异于M132049的梅森素数。而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M110503。沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M756839。1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。
使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。1996年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用；这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了＂素数网＂（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。目前，全球有近７万名志愿者参加该项目，并动用20多万台计算机联网来进行大规模的分布式计算，以寻找新的梅森素数。看来，因特网联通的个人计算机要与高功能的超级计算机在计算技术上一较高低了。从1996年到2004年5月15日，GIMPS项目发现了7个梅森素数：M1398269、M2976221、M3021377、M6972593、M13466917、M20996011和M24036583，它们都是使用奔腾型计算机得到的结果。
时至今日止，人们已经发现了41个梅森素数，并且确定M6972593位于梅森素数序列中的第38位。现把它们列表如下：
序号    梅森素数        位数        发现时间
1    M2          1          公元前300
2    M3          1          公元前300
3    M5          2          公元前100
4    M7          3          公元前100
5    M13          4          15世纪中叶
6    M17          6          1603
7    M19          6          1603
8    M31          10          1772
9    M61          19          1883
10    M89          27          1911
11    M107          33          1914
12    M127          39          1876
13    M521          157          1952
14    M607          183          1952
15    M1279          386          1952
16    M2203          664          1952
17    M2281          687          1952
18    M3217          969          1957
19    M4253          1281          1961
20    M4423　        1332          1961
21    M9689          2917          1963
22    M9941          2993          1963
23    M11213          3376          1963
24    M19937          6002          1971
25    M21701          6533          1978
26    M23209          6987          1979
27    M44497          13395          1979
28    M86293          25962          1983
29    M110503          33265          1988
30    M132049          39751          1983
31    M216091          65050          1985
32    M756839          227832      1992
33    M859433          258716      1995
34    M1257787          378632      1996
35    M1398269          420921      1996
36    M2976221          895933      1997
37    M3021377          909526      1998
38    M6972593          2098960    1999
？    M13466917      4053946    2001
？    M20996011      6320430    2003
？    M24036583      7235733    2004
由上表可见，梅森素数的分布极不规则。我们甚至可以看到，连找到梅森素数的时间分布都极不规则，有时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。
不久前，国际电子新领域基金会（IEFF）宣布了由一位匿名者资助的为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一千万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但据悉，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。可以相信，梅森素数这颗数海明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。

梅森素数的意义
自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。
寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。
寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。
由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“最大素数”所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。从各国各种传媒（而不仅仅是学术刊物）争相报道新的梅森素数的发现，我们也可清楚地看到这一点。
梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。
寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的7个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，我们已可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。
最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”
　
本文摘自《世界科学》2004年第7期
至于短的那条腿，由于影响太大，不便公开讨论，我的邮箱是：cmfok@sohu.com
有兴趣可以通信。谢谢！

xxljgxs

问楼主两个问题:
一 你的文中说:
"中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。"
可否公布一下这个"周氏猜测"的具体内容,让大家欣赏一下?
二
既然你是搞计算机的,何不用你的理论编程来判定素数呢? 弄几个大素数出来是比什么都有说服力的.我不知道用你的方法判定一个比如说10000位的自然数是否素数需要多长时间,这是最关键的.

zhaolu48

>哈哈！在几何学、数学分析、微积分教程里竟然有数论的公理，真不知天理何在？
　　这可不是我杜撰的！
　　请翻开《微积分学教程》(菲赫金哥尔次著，叶彦谦等译，1959年8月第二版，1978年4月第九次印刷)第一卷，第一分册第6页下数第五行开始，现抄录如下：
　　5.阿基米德公理　我们用下列的简单而重要的论证，来结束我们的有理数基本性质一览表。这一性质是不能由上述的诸性质里推得的。
　　Ⅳ1°　不论c>0是怎样的一个数，总有大于c的自然数n存在着(《阿基米德公理》)。
　　实际上，阿基米德曾说明过一个几何的命题，即为众所周知的《阿基米德公理》：
　　若在直线上给定任意两线段A及B，则A重复相加若干交次后，其和总可以大于B：
　　　　　A+A+A+…+A=A·n>B
　　若将这谁转而对正数a及b来叙述，它便肯定有这样的自然数n存在使
　　　　　a+a+a+…+a=a·n>b.
　　天理竟是如此！

cmfok

[这个贴子最后由cmfok在 2005/09/21 03:30am 第 2 次编辑]

这是一个几何的公理，请注意公理是不需要证明的。在这里只是利用其原理类比自然数的无穷性。
假设如你所言，那么好，我们都知道，每一个自然数+1就是它后面那个自然数，那么按照你的逻辑，质数+1就是它后面的质数。于是“4”这个质数就是3后面的质数。“18”这个质数就是17后面的质数。你真是滑稽可笑。
不与你说了，好好读书吧！我误会你了，请不要张冠李戴。谢谢参与！
菲赫金哥尔次的（微积分学教程）4卷必须配（基米多维奇习题集）我们那时都是这样做的，你一定是习题做少了。小伙子，多做题吧！（看到菲赫金哥尔次有感，勾起多年的回忆，又及）

cmfok

xxljgxs ：你好！
第一个问题：
你应该去问香港科技大学 方程，《世界科学》，《科学》杂志。请学会自己动手！
第二个问题：
我们不妨将公式3（p＇=（2×…×Qk ）-C）与梅森素数的计算(p＇=2^p-1)作一比较。
我们假设已经有了几千万个连续的质数。这一点都不难。哪怕你的计算机比较慢，如cpu是P4 1.8G的。即便采用筛法进行计算，也决不会超过2天。我的计算机完成32位以内的所有质数计算，只需2个多小时。
现在还没有人计算出了一千万以上的质数，一千万个质数相乘自然超过了一千万位，因为几乎每个质数的大小都超过了10。请注意用筛法计算出几千万个质数，需要进行多少次除法运算，在计算机中除法比乘法慢。当段数计算出来后，如果减一个质数所得的准素数被判定为不是质数，那么下一个准质数只需将段数再减另一个质数便是。
可梅森数如果被判定不是质数，便须从来。达到同样数量级梅森素数的2相乘次数要比质数相乘次数多，当然这不是问题，即便4千万个2相乘，也应该不是难事。
判定：
梅森素数就像一把插向天空的利剑，太孤独，无依无靠。因此对它的质数判定太困难，计算太复杂，否则也就没有必要20万台计算机成年累月的进行计算了。
公式3就不同，首先段数就是一个坚强的参照，而那些合数就是尺子的刻度。比如说你能说明某两个准质数中的合数之间再没有准质数中合数，那么它们之间的准质数便全是质数，…。这就是我发明的界数法。请仔细研究一下例2。特别请注意，这些界数是我们可以轻易生成的。
最后我想说，你为什么不去计算一下世界上最大的偶数?或者最大的自然数？为什么？如果你不去算，那我也明确的告诉你，我也不会去算。这个道理并不深奥总有一天大家都回明白，我何必去用计算来证明。

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回楼主:
第一个问题:我不知道怎样去查,如能帮忙,非常感谢.因为我也有一个结果,肯定比他的还要漂亮的,所以才这样问.

第二个问题:我感兴趣的是要确定一个比如说1000位的自然数用你的方法编程需要多长时间?
你说的"我的计算机完成32位以内的所有质数计算，只需2个多小时。"
我没明白意思
是找出了所有质数了呢还是知道有多少个?