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楼主: fm1134

分数次幂的一个问题。

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发表于 2009-3-17 11:51 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

对于实数的幂运算,只有保证底数是正数的运算,满足连续性,也就是f(x)=a^x是连续的,于是可证明,a^x只有取正数这一支才可以满足整体的连续性。而对于负数底数,没有任何连续性的保障,所以就会发现如此的怪现象。
 楼主| 发表于 2009-3-17 11:54 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

下面引用由恶心的狐狸2009/03/17 11:51am 发表的内容:
对于实数的幂运算,只有保证底数是正数的运算,满足连续性,也就是f(x)=a^x是连续的,于是可证明,a^x只有取正数这一支才可以满足整体的连续性。而对于负数底数,没有任何连续性的保障,所以就会发现如此的怪现象。
我8楼的帖子中,已明确说明积分中的a是一个正实数。
发表于 2009-3-17 12:00 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

下面引用由fm11342009/03/17 11:54am 发表的内容:
我8楼的帖子中,已明确说明积分中的a是一个正实数。
我已经说明了,此是a^1/2为了考虑连续性的要求,只有定义为正才可满足,积分/微分才可有意义
发表于 2009-3-17 20:34 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/17 08:34pm 第 1 次编辑]

从函数图像也可以看出,我说函数 x/√(a^2-x^2) 从 0 到 a 的定积分值等于│a│,是完全正确的:

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 楼主| 发表于 2009-3-17 22:29 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

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发表于 2009-3-17 22:36 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

不同的场合,这个时候为了连续性,为了这个积分可积,则只存在sqrt(x)取正.
发表于 2009-3-17 22:37 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

sqrt(x)只是一个运算,平方根可以有两个,但连续意义下的sqrt(x) (x>0)值只能有一个。
发表于 2009-3-17 23:38 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

在第 4 楼的帖子中,我举过一个实数幂运算的例子: 2^(-1/2)=√2/2 。
这个例子说明,按照实数幂运算的规定,正数 1/2 次方运算的结果必定是一个正数,不可以是一正一负两个答案。
在第 7 楼的帖子中,我也指出:作为实数运算,2^(1/2)=±√2 这样的写法,是不规范的,有可能出现矛盾。
由此可见,我从来没有认为在实数运算中写 2^(1/2)=±√2 是正确的。
其实,x/√(a^2-x^2) 积分的例子,正好也说明 2^(1/2)=±√2 这样的写法是不对的。
我们看到,这个积分值,按照正确的写法,应该写成│a│,也就是说,它的值一定大于等于0 ,不可能是负的。
如果我们按照 2^(1/2)=±√2 这样的写法,把这个积分值写成 ±a ,认为这个积分值可正可负,显然是不对的。
所以,从这个例子,我们也可以看出,2^(1/2)=±√2 这样的写法,确实是有问题的。
 楼主| 发表于 2009-3-18 07:47 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

[这个贴子最后由fm1134在 2009/03/18 07:50am 第 1 次编辑]

陆老师在7楼的帖子中说“在很多场合下看到过2^(1/2)=±√2的写法”,但不知能否
说明一下具体在哪本书上见到过这种写法呢?我依稀也记得见过这样的写法,但又不能肯
定。
发表于 2009-3-18 08:50 | 显示全部楼层

分数次幂的一个问题。

下面引用由fm11342009/03/18 07:47am 发表的内容:
陆老师在7楼的帖子中说“在很多场合下看到过2^(1/2)=±√2的写法”,但不知能否
说明一下具体在哪本书上见到过这种写法呢?我依稀也记得见过这样的写法,但又不能肯
定。
在书里恐怕很难找到这样的写法,我说的是“在很多场合”而不是说“在很多书里”,
因为我记得,曾经看到过有些学生或老师,在解代数方程时是这样写的:
“x^2=2 ,x=2^(1/2)=±√2 ”。
“x^2-4x+1=0 ,x^2-4x+4=3 ,(x-2)^2=3 ,x-2=3^(1/2)=±√3 ,x=2±√3 ”。
解出来的结果,当然都是对的,但这种写法,其实是不太规范的。
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