分数次幂的一个问题。

恶心的狐狸

对于实数的幂运算，只有保证底数是正数的运算，满足连续性，也就是f(x)=a^x是连续的，于是可证明，a^x只有取正数这一支才可以满足整体的连续性。而对于负数底数，没有任何连续性的保障，所以就会发现如此的怪现象。

fm1134

下面引用由恶心的狐狸在 2009/03/17 11:51am 发表的内容：
对于实数的幂运算，只有保证底数是正数的运算，满足连续性，也就是f(x)=a^x是连续的，于是可证明，a^x只有取正数这一支才可以满足整体的连续性。而对于负数底数，没有任何连续性的保障，所以就会发现如此的怪现象。

我8楼的帖子中，已明确说明积分中的a是一个正实数。

恶心的狐狸

下面引用由fm1134在 2009/03/17 11:54am 发表的内容：
我8楼的帖子中，已明确说明积分中的a是一个正实数。

我已经说明了，此是a^1/2为了考虑连续性的要求，只有定义为正才可满足，积分/微分才可有意义

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/17 08:34pm 第 1 次编辑]

从函数图像也可以看出，我说函数 x/√(a^2-x^2) 从 0 到 a 的定积分值等于│a│，是完全正确的：

fm1134

恶心的狐狸

不同的场合,这个时候为了连续性，为了这个积分可积,则只存在sqrt(x)取正.

恶心的狐狸

sqrt(x)只是一个运算，平方根可以有两个，但连续意义下的sqrt(x) (x>0)值只能有一个。

luyuanhong

在第 4 楼的帖子中，我举过一个实数幂运算的例子： 2^(-1/2)＝√2/2 。
这个例子说明，按照实数幂运算的规定，正数 1/2 次方运算的结果必定是一个正数，不可以是一正一负两个答案。
在第 7 楼的帖子中，我也指出：作为实数运算，2^(1/2)＝±√2 这样的写法，是不规范的，有可能出现矛盾。
由此可见，我从来没有认为在实数运算中写 2^(1/2)＝±√2 是正确的。
其实，x/√(a^2-x^2) 积分的例子，正好也说明 2^(1/2)＝±√2 这样的写法是不对的。
我们看到，这个积分值，按照正确的写法，应该写成│a│，也就是说，它的值一定大于等于0 ，不可能是负的。
如果我们按照 2^(1/2)＝±√2 这样的写法，把这个积分值写成 ±a ，认为这个积分值可正可负，显然是不对的。
所以，从这个例子，我们也可以看出，2^(1/2)＝±√2 这样的写法，确实是有问题的。

fm1134

[这个贴子最后由fm1134在 2009/03/18 07:50am 第 1 次编辑]

陆老师在7楼的帖子中说“在很多场合下看到过2^(1/2)=±√2的写法”，但不知能否
说明一下具体在哪本书上见到过这种写法呢？我依稀也记得见过这样的写法，但又不能肯
定。

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2009/03/18 07:47am 发表的内容：
陆老师在7楼的帖子中说“在很多场合下看到过2^(1/2)=±√2的写法”，但不知能否
说明一下具体在哪本书上见到过这种写法呢？我依稀也记得见过这样的写法，但又不能肯
定。

在书里恐怕很难找到这样的写法，我说的是“在很多场合”而不是说“在很多书里”，
因为我记得，曾经看到过有些学生或老师，在解代数方程时是这样写的：
“x^2＝2 ，x＝2^(1/2)＝±√2 ”。
“x^2－4x＋1＝0 ，x^2－4x＋4＝3 ，(x－2)^2＝3 ，x－2＝3^(1/2)＝±√3 ，x＝2±√3 ”。
解出来的结果，当然都是对的，但这种写法，其实是不太规范的。